Note for Electromagnetism

Based on Lectures of Bangjiao Ye

0. 约定、工具与读图规则

0.1 符号与单位

• 采用国际单位制（SI）。真空介电常数为 $\varepsilon_0$，均匀线性介质中用 $\varepsilon$。
• 库仑常量 $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$。
• 位置矢量为 $\mathbf r$，$r=|\mathbf r|$，$\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r$。
• 电荷体密度、面密度、线密度分别为 $\rho,\sigma,\lambda$。
• 电势零点必须说明；只有电势差具有与零点无关的物理意义。
• 面元与通量：$\mathrm d\mathbf S=\hat{\mathbf n},\mathrm dS$，闭合面取外法向；通量 $\Phi_E=\oint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S$ 以流出为正。
• 源点坐标带撇（$\mathbf r’$、$\mathrm dq’$），场点不带撇；分离矢量 $\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r’$，$\hat{\mathbf R}=\mathbf R/R$。
• 高斯面、药盒与安培回路是为计算选取的虚构几何面，不是物理表面；其上可以有电荷流过，也可以处于介质内部。
• 球坐标梯度（轴对称时 $\partial\varphi/\partial\phi=0$）：

$$
\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial r}\hat{\mathbf r}
+\frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol\theta}.
$$

0.2 三个基本关系

电场、电势与静电力的定义分别是

$$
\mathbf E(\mathbf r)=\frac{\mathbf F}{q_0},\qquad
\mathbf E=-\nabla\varphi,\qquad
\mathbf F=q\mathbf E.
$$

第一式表示单位正试探电荷受到的力；第二式表示电场指向电势下降最快的方向；第三式把“空间本身的场”与“具体电荷受到的力”区分开来。

电势的等价积分定义（沿任意路径对第二式积分，静电场的路径无关性在 7.2 节证明）：

$$
\varphi(\mathbf r)-\varphi(\mathbf r_{\rm ref})
=-\int_{\mathbf r_{\rm ref}}^{\mathbf r}\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l.
$$

常用恒等式（后文反复使用，此处列出备查）：

$$
\nabla\frac1R=-\frac{\hat{\mathbf R}}{R^2},\qquad
\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf a|}\approx\frac1r+\frac{\mathbf a\cdot\mathbf r}{r^3}
\quad(r\gg a).
$$

第一式用于“由势求场”；第二式是 3.2 节偶极展开的基础。

0.3 解题总路线

流程的依据是：对称性决定可能的场方向，高斯面或积分变量决定可计算形式，边界与极限检查用于排除不满足原问题的候选解。

面对一个具体模型时，依次完成：辨认对称性、选择坐标系、标出源点与场点、写出电荷元、判断使用库仑积分还是高斯定理，最后检查方向、量纲、边界与远近场极限。后文的示意图均服务于这一路线。

0.4 自查工具：量纲、对称性与极限

推导结束后用三类工具检查结果：量纲（单位必须自洽）、对称性（结果必须继承模型的对称性）、极限（极端情形必须退化为已知的简单结果）。

• 量纲。 静电场公式必可写成 $[电荷],[距离]^a/[\varepsilon_0]$ 的组合：点电荷场 $E\sim q/(\varepsilon_0r^2)$，无限平面场 $E\sim\sigma/\varepsilon_0$。量纲检查只能核对幂次与单位，系数必须由严格推导给出。
• 对称性。 若模型关于某平面镜像对称，场矢在镜像变换下必须不变。例如均匀带电圆环关于一切含轴平面对称：场点位于轴上，场矢必须落在每个镜像平面内，而轴是所有含轴平面的交线，因此轴上场只能沿轴向。对称性判断永远在积分之前做，先消去必然为零的分量。
• 极限。 取 $r\to0$、$r\to\infty$ 或几何参数 $R\to0/\infty$，结果必须退化为更简单的已知模型。例如圆盘 $R\to\infty$ 应给出 $\sigma/(2\varepsilon_0)$，$z\gg R$ 应给出点电荷场。5.5 节给出了第 5 章各模型之间的极限互化清单。

结论

先完成推导，再逐项执行三类检查；任何一项不过，说明推导或建模有误，应当回头定位而不是修补公式。

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第一章 静电场

1. 电荷守恒方程

1.0 本知识点的解题式建模

物理模型： 在空间中固定一个任意控制体 $V$，边界为闭合曲面 $S$，外法向为 $\hat{\mathbf n}$。控制体本身不随时间移动，电荷可以穿过边界。

已知量： 电荷体密度 $\rho(\mathbf r,t)$ 和电流密度 $\mathbf J(\mathbf r,t)$。

待求关系： 体内电荷随时间的变化率与边界电流之间的关系。

基本物理事实： 电荷不能凭空产生或消失，所以“体内电荷的增加量 + 从边界流出的电荷量 = 0”。

模型说明： 控制体必须固定不动——这是 1.2 节把 $\mathrm d/\mathrm dt$ 移入体积分的前提；$\rho$ 与 $\mathbf J$ 都是宏观平均量（微观电荷是离散的，宏观尺度上才谈“密度”），守恒方程描述的是平均量的精确守恒。

在时间间隔 $[t,t+\Delta t]$ 内，体内电荷变化为

$$
\Delta Q_V=Q_V(t+\Delta t)-Q_V(t).
$$

同一时间内从面积元 $\mathrm dS$ 流出的电荷是

$$
\Delta q_{\rm out}=\mathbf J\cdot\hat{\mathbf n},\mathrm dS,\Delta t.
$$

对整个边界相加：

$$
Q_{\rm out}=\Delta t\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

由电荷守恒

$$
\Delta Q_V+Q_{\rm out}=0.
$$

两边除以 $\Delta t$，再令 $\Delta t\to0$，就得到 1.2 节的积分形式。后续散度定理只是把“整个区域的守恒”转写为“每一点的局域守恒”。

1.1 准确定义

建模

电荷守恒是指：一个封闭系统的总电荷不会凭空产生或消失。电荷可以从一个区域流入另一个区域，因此局部电荷量可以改变，但改变必须由穿过边界的电流解释。

设固定体积 $V$ 的边界为 $S$，外法向为 $\hat{\mathbf n}$。体内总电荷为

推导

$$
Q_V(t)=\int_V\rho(\mathbf r,t),\mathrm dV.
$$

流出边界的电流为

$$
I_{\rm out}=\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S,
$$

其中 $\mathbf J$ 是电流密度；$\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S>0$ 表示电荷流出。

1.2 从积分形式逐步推导微分形式

Step 1： 体内电荷减少率等于净流出率：

推导

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V\rho,\mathrm dV
=-\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

Step 2： 对固定体积把时间微分移入积分号：

$$
\int_V\frac{\partial\rho}{\partial t},\mathrm dV
=-\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

这一步依赖 $V$ 固定：积分区域不随时间变化时，莱布尼茨法则退化为

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V f,\mathrm dV
=\int_V\frac{\partial f}{\partial t},\mathrm dV.
$$

若 $V$ 随时间移动，右边会出现 $\rho\mathbf v$ 的对流项（见 1.3 节）。

Step 3： 用散度定理

$$
\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S
=\int_V\nabla\cdot\mathbf J,\mathrm dV.
$$

Step 4： 合并：

$$
\int_V\left(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J\right)\mathrm dV=0.
$$

Step 5： 因为 $V$ 可以任意选取，被积函数必须处处为零。严格论证是反证法：若在 $\mathbf r_0$ 处 $g\equiv\partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\mathbf J>0$，由连续性存在 $\mathbf r_0$ 的一个小邻域使 $g>0$；取 $V$ 为该邻域，体积分必大于零，与 Step 4 对一切 $V$ 成立矛盾。注意这一步以 $g$ 连续为前提——这正是微分形式比积分形式多出的条件（1.3 节）。

结论

$$
\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.}
$$

物理意义：$\nabla\cdot\mathbf J>0$ 表示某点附近“流出多于流入”，所以该处 $\partial\rho/\partial t<0$。稳恒电流中 $\partial\rho/\partial t=0$，因而 $\nabla\cdot\mathbf J=0$。

1.3 积分形式与微分形式的适用范围

建模

同一守恒定律的两种数学表述：积分形式针对有限体积，微分形式针对单点。选择哪种形式由问题的已知条件决定：只知道边界总流量时用积分形式；已知体密度分布且足够光滑时用微分形式。

推导

积分形式

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V\rho,\mathrm dV=-\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S
$$

只需要 $\rho,\mathbf J$ 在 $V$ 内可积、在 $S$ 上有明确的电流通量，对电荷分布的光滑性没有要求。微分形式由散度定理得到，多出“$\rho,\mathbf J$ 连续可微”的前提。最典型的反例出现在两种介质的界面：界面两侧 $\rho$ 突变，$\nabla\cdot\mathbf J$ 在界面上没有定义，但取一个横跨界面的小药盒，积分形式仍然成立。因此积分形式更基本：它允许弱解，微分形式是它的光滑极限。

控制面运动的推广：若 $V(t)$ 以速度 $\mathbf v$ 运动，进入体内计算守恒的流量应扣除跟随表面运动的电荷，

$$
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_{V(t)}\rho,\mathrm dV
=-\oint_{S(t)}(\mathbf J-\rho\mathbf v)\cdot\mathrm d\mathbf S,
$$

固定控制体是 $\mathbf v=0$ 的特例。

结论

$$
\boxed{\text{积分形式：}\ \frac{\mathrm dQ_V}{\mathrm dt}=-I_{\rm out};\qquad
\text{微分形式：}\ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0.}
$$

1.4 应用：从守恒方程到电路定律

应用一：稳恒条件与基尔霍夫节点定律（KCL）。 稳恒电流要求体内任意点 $\partial\rho/\partial t=0$，由微分形式

$$
\nabla\cdot\mathbf J=0
$$

结论：稳恒电流的电流线是无源管——流进任何体积的电流必然流出，电流线只能闭合或延伸到无穷远。

把积分形式用于包围电路一个节点的闭合面：稳恒时左端为零，

$$
\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S=\sum_k I_k=0
\qquad\text{（流出为正），}
$$

这正是 KCL。它不是独立假设，而是电荷守恒在稳恒条件下的直接结果；完整的电路推导见 30.1 节。

应用二：电容器极板电荷与导线电流。 取包围电容器正极板的闭合面：唯一穿过表面的电流是导线电流 $I$（极板间是绝缘介质，无传导电流）。由积分形式

$$
\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=I,
$$

即“极板电荷的增加率等于流入的电流”。这是把电荷守恒翻译成电路语言的标准建模步骤，充电过程中 $Q(t)$ 与 $I(t)$ 的关系由此而来。

应用三：导体内部电荷的弛豫。 把欧姆定律 $\mathbf J=\sigma\mathbf E$（$\sigma$ 为电导率）与高斯定律 $\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon$ 代入微分形式：

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf J=-\sigma\nabla\cdot\mathbf E
=-\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho.
$$

结论

$$
\boxed{\rho(t)=\rho_0,e^{-t/\tau},\qquad \tau=\frac{\varepsilon}{\sigma}.}
$$

净电荷不能稳定存在于导体内部，而是以时间常数 $\tau$ 指数衰减；对金属 $\tau\sim10^{-19}$ s 量级。这是导体静电平衡的微观起源，完整的模型推导见 8.2 节。

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2. 点电荷的电场

2.1 定义与公式

位于 $\mathbf r’$ 的点电荷 $q$ 在 $\mathbf r$ 处产生

结论

$$
\boxed{\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q(\mathbf r-\mathbf r’)}{|\mathbf r-\mathbf r’|^3}.}
$$

若把电荷放在原点，则

推导

$$
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\mathbf r}.
$$

• $1/r^2$ 表示场线通量分散在面积 $4\pi r^2$ 的球面上。
• $q>0$ 时方向向外，$q<0$ 时方向向内。
• 场是矢量；多个电荷产生的总场服从叠加原理：$\mathbf E=\sum_i\mathbf E_i$。

2.2 从库仑力到电场与电势

试探电荷 $q_0$ 受到库仑力

推导

$$
\mathbf F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qq_0}{r^2}\hat{\mathbf r}.
$$

除以 $q_0$ 得到电场。再由 $\varphi(\infty)=0$ 和 $\varphi(r)-\varphi(\infty)=-\int_\infty^r\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l$，有

结论

$$
\boxed{\varphi(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}.}
$$

量纲检查：$[kq/r^2]=\mathrm{N/C}$，$[kq/r]=\mathrm{J/C=V}$。

由势反推场的核对：利用恒等式 $\nabla(1/R)=-\hat{\mathbf R}/R^2$，

$$
\mathbf E=-\nabla\varphi
=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\nabla\frac1R
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{\mathbf R}}{R^2},
$$

与库仑场完全一致，说明“从库仑力到电场”与“从电势到电场”两条路线自洽。对多个点电荷，电势是标量叠加

$$
\varphi(\mathbf r)=\sum_i\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0|\mathbf r-\mathbf r_i|},
$$

再取梯度即得总场。标量叠加只有一项，矢量叠加有三个分量——这就是“先势后场”通常更省力的原因。

2.3 点电荷模型的完整解题步骤

Step 1：建立模型。 把源电荷 $q$ 固定在位置 $\mathbf r’$；把一个足够小的正试探电荷 $q_0$ 放在场点 $\mathbf r$。要求 $q_0$ 足够小，是为了不显著改变源电荷分布。

Step 2：写出几何量。 从源点指向场点的位移是

$$
\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r’,\qquad R=|\mathbf R|,
\qquad \hat{\mathbf R}=\frac{\mathbf R}{R}.
$$

Step 3：应用库仑定律。 试探电荷受到

$$
\mathbf F_{q\to q_0}
=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{qq_0}{R^2}\hat{\mathbf R}.
$$

当 $qq_0>0$ 时，力沿 $\hat{\mathbf R}$；当 $qq_0<0$ 时，系数为负，方向自动反转。

Step 4：除去试探电荷。 电场定义为单位正试探电荷所受力：

$$
\mathbf E(\mathbf r)
=\lim_{q_0\to0}\frac{\mathbf F}{q_0}
=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}\hat{\mathbf R}
=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q(\mathbf r-\mathbf r’)}{|\mathbf r-\mathbf r’|^3}.
$$

Step 5：由场求势。 选无穷远为零势点，沿径向路径从无穷远积分到 $R$：

$$
\varphi(R)-0
=-\int_\infty^R\frac{q}{4\pi\varepsilon_0s^2},\mathrm ds.
$$

其中 $s$ 只是积分变量，不能把上限 $R$ 同时当成积分变量。逐步积分：

$$
\varphi(R)
=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\left[-\frac1s\right]_{\infty}^{R}
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R}.
$$

Step 6：检查。

• $R\to\infty$ 时，$E\to0$、$\varphi\to0$，符合零势选择；
• $E\propto R^{-2}$，而球面积 $4\pi R^2$，故总通量不随 $R$ 改变；
• $-\mathrm d\varphi/\mathrm dR=q/(4\pi\varepsilon_0R^2)=E_R$，场与势相互一致。

2.4 应用与讨论

应用一：两个等量同号电荷的中垂面场。 设两个 $+q$ 分别位于 $(\pm a,0,0)$，求 $(0,0,z)$ 处的场。源点到场点的位矢分别为 $-a\hat{\mathbf x}+z\hat{\mathbf z}$ 与 $a\hat{\mathbf x}+z\hat{\mathbf z}$，长度同为 $\sqrt{a^2+z^2}$。两个场大小相等，$x$ 分量恰好抵消，$z$ 分量相加：

$$
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\left[\frac{-a\hat{\mathbf x}+z\hat{\mathbf z}}{(a^2+z^2)^{3/2}}
+\frac{a\hat{\mathbf x}+z\hat{\mathbf z}}{(a^2+z^2)^{3/2}}\right]
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2z}{(a^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf z}.
$$

推导要点： 抵消项来自镜像对称——过场点作 $x=0$ 的镜像，两电荷互换而场点不动，场的 $x$ 分量在镜像下必须反号，于是只能为零。这类“先看对称性、只算剩下的分量”的做法贯穿第 5 章的全部模型。

应用二：先势后场的方法论。 上例若改走电势：两个电荷到场点距离相等，

$$
\varphi(z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2}{\sqrt{a^2+z^2}},
$$

再求 $E_z=-\mathrm d\varphi/\mathrm dz$，同样得到上面的结果，全程只有标量运算。凡涉及多电荷或连续分布，默认路线是：积分求 $\varphi$（标量）→ 取梯度得 $\mathbf E$（矢量），对称性检查放在积分之前。注意 $\varphi$ 在 $z=0$ 处取得极大值而场为零——场为零与势为零是两回事。

应用三：从分立电荷到连续分布。 把求和换成积分 $\sum_i q_i\to\int\mathrm dq$，形式上需要两点：电荷数极大，且宏观“体积元”内有平均意义。宏观电磁学中 $\rho,\sigma,\lambda$ 本身就是这种平均的结果，微观离散性（电子、晶格）不出现在场公式里。连续分布的通用公式与系统做法见第 5 章。

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3. 电偶极子的电场

3.1 模型与偶极矩

建模

电偶极子由相距 $d$ 的 $-q$ 与 $+q$ 组成。定义

推导

偶极矩是电荷分布多极展开的一阶矩。以中点为原点，两电荷位置为 $\pm\mathbf d/2$：

$$
\sum_iq_i\mathbf r_i
=q\frac{\mathbf d}{2}+(-q)\left(-\frac{\mathbf d}{2}\right)
=q\mathbf d.
$$

因此对这一对等量异号电荷，一般定义正负电荷量与从负到正分离矢量之积为偶极矩。

结论
$$
\boxed{\mathbf p=q\mathbf d,}
$$

方向从负电荷指向正电荷，单位为 $\mathrm{C,m}$。讨论偶极场时通常取远场条件 $r\gg d$。

偶极矩与原点无关性。 若把坐标原点平移到 $\mathbf a$，各电荷位置变为 $\mathbf r_i-\mathbf a$，新的“一阶矩”为

$$
\sum_iq_i(\mathbf r_i-\mathbf a)
=\sum_iq_i\mathbf r_i-\mathbf a\sum_iq_i.
$$

结论：对总电荷为零的体系（$\sum_iq_i=0$），偶极矩与原点选取无关——这是偶极矩能成为中性体系内禀物理量的原因。对带电体系，偶极矩依赖原点，必须先固定原点（通常取质心或几何中心）再谈偶极矩。

多极展开的观点。 任意局域电荷分布的远场电势按 $1/r$ 的幂次展开：

$$
\varphi(\mathbf r)=
\underbrace{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}}{\text{单极}}
+\underbrace{\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{4\pi\varepsilon_0r^2}}{\text{偶极}}
+\underbrace{O\left(\frac1{r^3}\right)}_{\text{四极及更高}}.
$$

电偶极子是总电荷为零的最简单体系，其单极项消失，首项即偶极项：电势 $\propto r^{-2}$、场 $\propto r^{-3}$。本章其余部分的所有结果都在 $r\gg d$ 的远场近似下成立。

3.2 任意方向远场：从电势逐步推导

建模

把 $d/r$ 当作小参数，对精确电势作一阶展开。方法论：先展开标量电势、再取梯度，比直接展开矢量场少算两个分量；且由电势出发自动保证 $\nabla\times\mathbf E=0$。

两电荷的精确电势为

推导

$$
\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\left(\frac1{|\mathbf r-\mathbf d/2|}-\frac1{|\mathbf r+\mathbf d/2|}\right).
$$

当 $r\gg d$ 时，对函数 $1/|\mathbf r-\mathbf a|$ 作一阶展开。先把 $a/r$ 提为小参数：

$$
\frac1{|\mathbf r-\mathbf a|}
=\frac1r\left(1-\frac{2\mathbf r\cdot\mathbf a}{r^2}+\frac{a^2}{r^2}\right)^{-1/2}
\approx\frac1r\left(1+\frac{\mathbf r\cdot\mathbf a}{r^2}\right)
=\frac1r+\frac{\mathbf a\cdot\mathbf r}{r^3},
$$

其中用了 $(1+x)^{-1/2}\approx1-x/2$，省略的是 $(a/r)^2$ 及更高阶。

分别令 $\mathbf a=\pm\mathbf d/2$，两个 $1/r$ 项抵消，得到

结论

$$
\boxed{\varphi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2}
=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}.}
$$

在球坐标中

$$
E_r=-\frac{\partial\varphi}{\partial r}
=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3},
\qquad
E_\theta=-\frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}
=\frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}.
$$

两个分量被省略的相对误差均为 $(d/r)^2$ 量级。

合成后

结论

$$
\boxed{\mathbf E(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3}
\left[3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p\right].}
$$

物理意义：偶极子的总电荷为零，所以 $1/r^2$ 的单极场消失，首个非零项按 $1/r^3$ 衰减。

任意方向展开的逐项计算

Step 1：写出两段距离。 令 $\mathbf p$ 沿 $z$ 轴，场点与 $z$ 轴夹角为 $\theta$。场点到 $+q$、$-q$ 的距离分别为

$$
r_+=\sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}-rd\cos\theta},
$$

$$
r_-=\sqrt{r^2+\frac{d^2}{4}+rd\cos\theta}.
$$

Step 2：提取远场小参数。 当 $r\gg d$ 时，$d/r$ 是小量：

$$
\frac1{r_+}=\frac1r
\left(1+\frac{d^2}{4r^2}-\frac d r\cos\theta\right)^{-1/2}.
$$

用 $(1+x)^{-1/2}\approx1-x/2$，并只保留 $d/r$ 的一阶项：

$$
\frac1{r_+}\approx\frac1r
\left(1+\frac d{2r}\cos\theta\right),
$$

$$
\frac1{r_-}\approx\frac1r
\left(1-\frac d{2r}\cos\theta\right).
$$

Step 3：代入电势并观察抵消。

$$
\varphi=\frac q{4\pi\varepsilon_0}
\left(\frac1{r_+}-\frac1{r_-}\right)
\approx\frac q{4\pi\varepsilon_0r}
\left(\frac d r\cos\theta\right).
$$

用 $p=qd$：

$$
\varphi\approx\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}.
$$

两个 $1/r$ 项抵消，正是“总电荷为零”的数学表现。

Step 4：在球坐标中逐分量求梯度。 轴对称时 $\partial\varphi/\partial\phi=0$：

$$
\nabla\varphi
=\frac{\partial\varphi}{\partial r}\hat{\mathbf r}
+\frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol\theta}.
$$

所以

$$
E_r=-\frac{\partial}{\partial r}
\left(\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\right)
=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3},
$$

$$
E_\theta=-\frac1r\frac{\partial}{\partial\theta}
\left(\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\right)
=\frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}.
$$

Step 5：检查特殊方向。 令 $\theta=0$ 应恢复轴线场；令 $\theta=\pi/2$ 应恢复中垂线场。这一检查在 3.3 节完成。

3.3 中轴线与垂直中轴线

建模

把上一节任意方向的远场公式分别应用到 $\theta=0$ 和 $\theta=\pi/2$。轴线上 $\hat{\mathbf r}\parallel\mathbf p$；中垂线上 $\hat{\mathbf r}\perp\mathbf p$。

推导

轴线上 $\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}=p$，代入

$$
\mathbf E=\frac{3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p}
{4\pi\varepsilon_0r^3}
$$

得到分子 $3\mathbf p-\mathbf p=2\mathbf p$。中垂线上内积为零，分子只剩 $-\mathbf p$。

轴线上 $\theta=0$：

结论

$$
\boxed{\mathbf E_{\rm axis}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\mathbf p}{r^3}.}
$$

垂直中轴线上 $\theta=\pi/2$：

结论

$$
\boxed{\mathbf E_{\rm equator}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf p}{r^3}.}
$$

在相同 $r$ 处，轴线场强大小是中垂线上的 2 倍，方向分别与 $\mathbf p$ 同向、反向。

直接叠加核对

同一结果也可以不经过电势，直接对两电荷的场矢量叠加，作为交叉检查。

轴线上：两场同线反号，相减

$$
E_{\rm axis}=\frac q{4\pi\varepsilon_0}
\left[\frac1{(r-d/2)^2}-\frac1{(r+d/2)^2}\right].
$$

用 $(1\pm x)^{-2}\approx1\mp 2x$：

$$
E_{\rm axis}\approx\frac q{4\pi\varepsilon_0r^2}
\left[\left(1+\frac d r\right)-\left(1-\frac d r\right)\right]
=\frac{2qd}{4\pi\varepsilon_0r^3}
=\frac{2p}{4\pi\varepsilon_0r^3}.
$$

中垂线上：每个电荷到场点的距离为 $\sqrt{r^2+d^2/4}$，场的大小为 $kq/(r^2+d^2/4)$；两场的横向分量抵消，轴向分量各含因子 $(d/2)/\sqrt{r^2+d^2/4}$，沿 $-\mathbf p$ 相加：

$$
E_{\rm eq}=2\cdot\frac q{4\pi\varepsilon_0(r^2+d^2/4)}
\cdot\frac{d/2}{\sqrt{r^2+d^2/4}}
\approx\frac{qd}{4\pi\varepsilon_0r^3}
=\frac p{4\pi\varepsilon_0r^3}.
$$

与由 $\varphi$ 求梯度的结果完全一致。两条路线的差别只是计算组织：矢量叠加简单直观但需要处理三个分量；电势路线一次标量展开加一次梯度，适合任意方向。

3.4 应用：场线方程与分子尺度

应用一：场线方程。 场线上每点的切线方向即 $\mathbf E$ 的方向，在球坐标中场线的微分方程为

$$
\frac{\mathrm dr}{r,\mathrm d\theta}=\frac{E_r}{E_\theta}
=\frac{2\cos\theta}{\sin\theta}.
$$

分离变量积分：

$$
\frac{\mathrm dr}{r}=2\cot\theta,\mathrm d\theta
;\Rightarrow;
\ln r=2\ln\sin\theta+C
;\Rightarrow;
r=r_0\sin^2\theta.
$$

结论：偶极场线是 $r\propto\sin^2\theta$ 的一族曲线，从正电荷出发绕向负电荷；等势面则由 $\cos\theta/r^2=\text{const}$ 给出。

应用二：分子尺度的偶极场。 水分子等极性分子的固有偶极矩量级为 $p\sim6\times10^{-30}\ \mathrm{C\cdot m}$。由轴线场公式，距偶极子 $r=1$ nm 处场强约

$$
E\sim\frac{2p}{4\pi\varepsilon_0r^3}\sim10^8\ \mathrm{V/m},
$$

是实验室宏观手段难以达到的场强量级。分子间的取向力（范德华力中的 Keesom 项）正是偶极场作用于另一个偶极子的结果，定量计算见 4.3 节。偶极场按 $1/r^3$ 衰减、比单极的 $1/r^2$ 快一个幂次，原因已在 3.2 节说明：单极项因总电荷为零而严格消失。

---

4. 电偶极子在外电场中的力、力矩与梯度力

4.1 均匀场中的合力与力矩

建模

把偶极子视为刚体：间距 $d$ 固定不变，只讨论整体平动与取向转动；本节先讨论 $\mathbf E$ 在偶极子尺度内均匀的情形。

两端电荷受到

推导

$$
\mathbf F_+=q\mathbf E,\qquad \mathbf F_-=-q\mathbf E,
$$

故均匀场中合力为零。但两力作用线不同，构成力偶：

结论

$$
\boxed{\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E,\qquad
|\tau|=pE\sin\theta.}
$$

力矩使 $\mathbf p$ 转向 $\mathbf E$。从 $\tau=-\partial U/\partial\theta$ 积分：

力矩与势能的逐步推导

设偶极子中心为原点，两电荷位置为

$$
\mathbf r_+=\frac{\mathbf d}{2},\qquad
\mathbf r_-=-\frac{\mathbf d}{2}.
$$

均匀场中两端受力为 $\mathbf F_+=q\mathbf E$、$\mathbf F_-=-q\mathbf E$。关于中心的总力矩：

$$
\boldsymbol\tau
=\mathbf r_+\times\mathbf F_+
+\mathbf r_-\times\mathbf F_-.
$$

逐项代入：

$$
\boldsymbol\tau
=\frac{\mathbf d}{2}\times q\mathbf E
+\left(-\frac{\mathbf d}{2}\right)\times(-q\mathbf E)
=q\mathbf d\times\mathbf E
=\mathbf p\times\mathbf E.
$$

取 $\theta$ 为 $\mathbf p$ 相对 $\mathbf E$ 的夹角。若缓慢增大 $\theta$，外力矩必须抵抗电场力矩，因此

$$
\mathrm dU=\tau_{\rm ext},\mathrm d\theta
=pE\sin\theta,\mathrm d\theta.
$$

从参考角 $\pi/2$ 积到 $\theta$：

$$
U(\theta)-U(\pi/2)
=\int_{\pi/2}^{\theta}pE\sin\theta’,\mathrm d\theta’
=-pE\cos\theta.
$$

选 $U(\pi/2)=0$，得到 $U=-pE\cos\theta$。

结论

$$
\boxed{U=-\mathbf p\cdot\mathbf E=-pE\cos\theta.}
$$

因此平行是稳定平衡，反平行是不稳定平衡。

力矩与参考点的选取无关

上面的力矩是关于偶极子中心取的。若改对任意参考点 $\mathbf r_0$ 取矩：

$$
\boldsymbol\tau’=\sum_i(\mathbf r_i-\mathbf r_0)\times\mathbf F_i
=\boldsymbol\tau-\mathbf r_0\times\underbrace{\sum_i\mathbf F_i}_{=0}
=\boldsymbol\tau.
$$

结论：均匀场中偶极子所受合力为零，因此力矩与参考点无关——这正是“力偶”的定义性质。非均匀场中合力不为零，力矩将依赖参考点，此时一般只讨论关于质心的力矩。

势能的另一种推导：从两电荷的电势能出发

$$
U=q\varphi(\mathbf r_+)-q\varphi(\mathbf r_-).
$$

把 $\varphi$ 在中心附近一阶展开：

$$
U\approx q,\nabla\varphi\cdot\mathbf d
=\mathbf p\cdot\nabla\varphi
=-\mathbf p\cdot\mathbf E,
$$

与力矩路径积分的结果一致。这里用了 $\mathbf E=-\nabla\varphi$ 与 $\mathbf p=q\mathbf d$，两种途径互为检验。

平衡的稳定性与小幅振动

$U(\theta)=-pE\cos\theta$ 的二阶导数

$$
\frac{\mathrm d^2U}{\mathrm d\theta^2}=pE\cos\theta,
$$

在 $\theta=0$ 处为正（稳定平衡），在 $\theta=\pi$ 处为负（不稳定平衡），定量印证了“平行稳定、反平行不稳定”。若偶极子可绕固定轴小幅摆动，转动方程

$$
I\ddot\theta=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm d\theta}=-pE\sin\theta
\approx-pE,\theta
$$

是简谐振动，角频率

$$
\boxed{\omega=\sqrt{\frac{pE}{I}},}
$$

周期 $T=2\pi\sqrt{I/(pE)}$。这是交变电场中介质极化的共振响应、以及分子偶极矩测量实验的基本动力学依据。

4.2 非均匀场中的梯度力

建模

设偶极子中心位于 $\mathbf r$，两电荷位于 $\mathbf r\pm\mathbf d/2$；外场在偶极子尺度内缓变，可作一阶泰勒展开。合力

推导

$$
\mathbf F=q\mathbf E(\mathbf r+\mathbf d/2)-q\mathbf E(\mathbf r-\mathbf d/2).
$$

作一阶泰勒展开：

$$
\mathbf E(\mathbf r\pm\mathbf d/2)
\approx\mathbf E(\mathbf r)\pm\frac12(\mathbf d\cdot\nabla)\mathbf E.
$$

相减得

结论

$$
\boxed{\mathbf F=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E.}
$$

利用恒等式

$$
\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E)
=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E+\mathbf p\times(\nabla\times\mathbf E),
$$

静电场中 $\nabla\times\mathbf E=0$，故

结论

$$
\boxed{\mathbf F=\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E)=-\nabla U.}
$$

一维经典模型： 若已沿场取向的偶极子处于 $E(z)=E_0+\alpha z$ 中，则

$$
F_z=p\frac{\mathrm dE}{\mathrm dz}=p\alpha.
$$

它会被拉向场强更大的区域；若偶极矩是外场诱导的 $\mathbf p=\alpha_e\mathbf E$，建立偶极还需能量，正确势能为 $U=-\tfrac12\alpha_eE^2$，所以 $\mathbf F=\tfrac12\alpha_e\nabla E^2$。

矢量恒等式的验证

$$
\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E)
=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E+\mathbf p\times(\nabla\times\mathbf E)
$$

可用指标记号核对：$[\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E)]_i=\partial_i(p_jE_j)=p_j\partial_iE_j$；右端第一项为 $p_j\partial_jE_i$，第二项

$$
[\mathbf p\times(\nabla\times\mathbf E)]i
=\epsilon{ijk}p_j\epsilon_{klm}\partial_lE_m
=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})p_j\partial_lE_m
=p_j\partial_iE_j-p_j\partial_jE_i,
$$

两项相加恰好得到 $p_j\partial_iE_j$。恒等式对任意矢量场成立；静电场的 $\nabla\times\mathbf E=0$（7.3 节）才使第二项消失，让梯度力可以写成势能的负梯度。

4.3 应用：偶极—偶极相互作用与感应偶极

应用一：两个偶极子之间的力。 偶极子 $\mathbf p_1$ 在轴线上的场为 $E_1(z)=2p_1/(4\pi\varepsilon_0z^3)$（3.3 节）。把沿场取向的 $\mathbf p_2$ 放在 $z=r$ 处，用梯度力公式：

$$
F=(p_2\hat{\mathbf z}\cdot\nabla)\left[\frac{2p_1}{4\pi\varepsilon_0 z^3}\hat{\mathbf z}\right]
=p_2\frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\frac{2p_1}{4\pi\varepsilon_0z^3}
=-\frac{3p_1p_2}{2\pi\varepsilon_0r^4}.
$$

结论：同轴同向排列的两个偶极子相互吸引，力按 $1/r^4$ 衰减（比电荷—电荷力的 $1/r^2$ 快两个幂次）；若 $\mathbf p_2$ 反向，力变号成为排斥。更一般的相对取向用 $\mathbf F=\nabla(\mathbf p_2\cdot\mathbf E_1)$ 计算。分子间的 Keesom 取向力即由此而来。

应用二：感应偶极与“因子 $1/2$”。 把中性微粒内部的极化自由度建模为一根劲度系数 $k$ 的弹簧连接 $\pm q$（电子云相对正电荷中心的位移）：外场把两电荷拉开，弹性力与外场力平衡时

$$
qE=kx
;\Rightarrow;
p=qx=\frac{q^2}{k}E,
$$

所以感应极化率 $\alpha_e=q^2/k$。体系总能量 = 弹簧弹性势能 + 偶极子与外场的相互作用能：

$$
U=\frac12kx^2-pE
=\frac12kx^2-qEx
=\frac12kx^2-kx^2
=-\frac12kx^2
=-\frac12\alpha_eE^2.
$$

结论

$$
\boxed{U=-\frac12\alpha_eE^2,\qquad
\mathbf F=-\nabla U=\frac12\alpha_e\nabla(E^2).}
$$

因子 $1/2$ 的物理来源：把偶极子“撑开”所需的弹性能与它在外场中释放的相互作用能各占一半，净效果只有刚性偶极子的一半——与弹簧弹性势能 $\tfrac12kx^2$ 同源。应用：带电梳子吸引纸屑、细水流在带电棒旁偏转，都是非均匀场对感应偶极的梯度力；均匀场中 $\nabla E^2=0$，感应偶极不受合力（可以受力矩而对齐，但没有平动）。

---

5. 高对称连续带电体的电场

连续分布统一满足

$$
\mathrm d\mathbf E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{\mathbf r-\mathbf r’}{|\mathbf r-\mathbf r’|^3},\mathrm dq,
$$

其中 $\mathrm dq=\lambda,\mathrm dl’$、$\sigma,\mathrm dS’$ 或 $\rho,\mathrm dV’$。积分前应先用对称性消去必然抵消的分量。

标量版本的积分公式同样常用：

$$
\varphi(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{|\mathbf r-\mathbf r’|},
$$

一条标量积分加一次梯度，通常比三个分量的矢量积分省力。本章每个模型都同时给出两条路线（直接积分场与先积分势），并讨论它们何时等价、何时一条路线更短。

5.1 均匀带电圆环的轴线场

建模

半径 $a$、均匀带电（线密度 $\lambda=Q/(2\pi a)$）的圆环，轴线上距圆心 $z$ 的点到每个电荷元距离均为 $R=\sqrt{a^2+z^2}$。横向分量成对抵消，仅保留轴向：

推导

$$
\mathrm dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{z,\mathrm dq}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
$$

积分 $\int\mathrm dq=Q$：

结论

$$
\boxed{E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{Qz}{(a^2+z^2)^{3/2}}.}
$$

检查：$z=0$ 时为零；$z\gg a$ 时趋于点电荷场 $Q/(4\pi\varepsilon_0z^2)$。

从电荷元开始的完整计算

参数化圆环上的源点：

$$
\mathbf r’(\phi)=a\cos\phi,\hat{\mathbf x}
+a\sin\phi,\hat{\mathbf y},
\qquad
\mathrm dq=\lambda a,\mathrm d\phi,
$$

其中 $\lambda=Q/(2\pi a)$。轴线场点为 $\mathbf r=z\hat{\mathbf z}$，所以

$$
\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r’
=-a\cos\phi,\hat{\mathbf x}
-a\sin\phi,\hat{\mathbf y}
+z\hat{\mathbf z},
$$

$$
R=\sqrt{a^2+z^2}.
$$

库仑积分为

$$
\mathbf E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\int_0^{2\pi}\frac{\mathbf R}{R^3}\lambda a,\mathrm d\phi.
$$

$x$ 分量含 $\int_0^{2\pi}\cos\phi,\mathrm d\phi=0$，$y$ 分量同样为零。$z$ 分量与 $\phi$ 无关：

$$
E_z=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{z\lambda a}{(a^2+z^2)^{3/2}}
\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi.
$$

代入 $2\pi a\lambda=Q$，得到前述结论。

电势法与最大场强位置

电势路线。 轴线上所有电荷元到场点距离同为 $\sqrt{a^2+z^2}$，标量积分一步完成：

$$
\varphi(z)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm dq}{\sqrt{a^2+z^2}}
=\frac Q{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}.
$$

由 $\mathbf E=-\nabla\varphi$，轴对称性保证场只有 $z$ 分量：

$$
E_z=-\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dz}
=\frac Q{4\pi\varepsilon_0}\frac z{(a^2+z^2)^{3/2}},
$$

与库仑积分的结果一致。比较两条路线：矢量路线要写出 $\mathbf R$ 的三个分量并论证两个分量的积分为零；电势路线只做一次标量积分。

最大场强位置。 求极值：

$$
\frac{\mathrm dE_z}{\mathrm dz}
=\frac Q{4\pi\varepsilon_0}\frac{a^2-2z^2}{(a^2+z^2)^{5/2}}=0
;\Rightarrow;
z=\pm\frac a{\sqrt2}.
$$

结论

$$
\boxed{E_{\rm max}=E\left(\pm\frac a{\sqrt2}\right)
=\frac Q{6\sqrt3\pi\varepsilon_0a^2}.}
$$

讨论： 环心 $z=0$ 处场为零是轴对称性的要求（该点任何方向都无特殊地位），而场沿轴先增后减：从零出发积累各电荷元的贡献，远处整体退化为点电荷。注意环心处 $\varphi(0)=Q/(4\pi\varepsilon_0a)\neq0$——场为零不等于电势为零，这是“场是势的负梯度”的必然推论。

5.2 均匀带电圆盘的轴线场

建模

半径 $R$、均匀带电（面密度 $\sigma$）的圆盘可拆成半径 $s$、宽 $\mathrm ds$ 的圆环：

推导

$$
\mathrm dq=\sigma(2\pi s,\mathrm ds).
$$

代入圆环结果：

$$
\mathrm dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{z,2\pi\sigma s,\mathrm ds}{(s^2+z^2)^{3/2}}.
$$

从 $s=0$ 积到 $R$（以下取 $z>0$）：

结论

$$
E_z=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}
\int_0^R\frac{s,\mathrm ds}{(s^2+z^2)^{3/2}}
=\boxed{\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)}.
$$

当 $R\to\infty$，得到无限大均匀带电平面

结论

$$
\boxed{E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},}
$$

其大小与距离无关。原因不是“离得远也不衰减”，而是距离增加时单个电荷元贡献减弱，同时参与贡献的有效面积增大，两者恰好抵消。

积分细节与极限检查

令

$$
u=s^2+z^2,\qquad \mathrm du=2s,\mathrm ds.
$$

则关键积分为

$$
\int_0^R\frac{s,\mathrm ds}{(s^2+z^2)^{3/2}}
=\frac12\int_{z^2}^{R^2+z^2}u^{-3/2},\mathrm du.
$$

逐步积分：

$$
\frac12\left[-2u^{-1/2}\right]_{z^2}^{R^2+z^2}
=\frac1z-\frac1{\sqrt{R^2+z^2}}
\quad(z>0).
$$

乘回前面的 $\sigma z/(2\varepsilon_0)$：

$$
E_z=\frac\sigma{2\varepsilon_0}
\left(1-\frac z{\sqrt{R^2+z^2}}\right).
$$

检查两个极限：

• $R\to\infty$：第二项趋于零，得到无限平面；
• $z\gg R$：用 $(1+R^2/z^2)^{-1/2}\approx1-R^2/(2z^2)$，于是

$$
E_z\approx\frac\sigma{2\varepsilon_0}\frac{R^2}{2z^2}
=\frac{\sigma\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0z^2}
=\frac Q{4\pi\varepsilon_0z^2},
$$

远处退化为总电荷 $Q=\sigma\pi R^2$ 的点电荷场。

电势法、近场极限与平行板

电势路线。 把圆盘拆成圆环，各环的势直接相加：

$$
\varphi(z)=\int_0^R\frac{\sigma,2\pi s,\mathrm ds}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{s^2+z^2}}
=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left[\sqrt{s^2+z^2}\right]_0^R
=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R^2+z^2}-|z|\right).
$$

取梯度（注意 $\mathrm d|z|/\mathrm dz=\mathrm{sgn},z$）：

$$
E_z=-\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dz}
=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\mathrm{sgn},z-\frac z{\sqrt{R^2+z^2}}\right),
$$

与本节开头的结果一致（$z>0$ 时 $\mathrm{sgn},z=1$）。

近场极限与场的不连续。 令 $z\to0^\pm$：

$$
E_z(0^+)=+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},\qquad
E_z(0^-)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
\qquad
E_z(0^+)-E_z(0^-)=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.
$$

场在盘面两侧方向相反、大小同为 $\sigma/(2\varepsilon_0)$——这正是无限大带电平面的场。跳变量 $\sigma/\varepsilon_0$ 不是巧合：对面电荷层取高斯药盒，这是普遍的边值关系（20.1 节）。有限盘的“无限平面近似”条件是 $z\ll R$，展开得

$$
E_z\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac z R\right)
\qquad(0<z\ll R),
$$

距离每增加 $z$，场相对减弱 $z/R$，即只在盘面附近近似为常数。

应用：平行板电容器。 两无限大平面带 $\pm\sigma$，场为两者叠加。板间两板贡献同向：

$$
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac\sigma{\varepsilon_0},
$$

板外两场反向，处处为零。有限尺寸平板的边缘处有“漏场”，忽略边缘效应即标准电容器模型（12.3 节）。

应用：电荷元受力。 盘面电荷元所受的力来自“其他所有电荷”的场，恰为两侧场的平均 $\sigma/(2\varepsilon_0)$，再乘自身电荷——自场不能对自己施力。这一“平均场”论证是导体表面电压力计算的基础，完整讨论见 11.3 节。

5.3 无限长均匀带电实心柱体

建模

无限长、均匀带电（体密度 $\rho$）、半径 $R$ 的实心柱体；取半径 $r$、长度 $L$ 的同轴高斯柱面。

推导

圆柱对称性保证电场沿径向，且在高斯柱侧面上等大；两个端面的法向沿轴向，故端面通量为零。侧面通量为 $E(2\pi rL)$。当 $r<R$ 时包围体积为 $\pi r^2L$；当 $r\ge R$ 时包围电荷不再增加，为 $\rho\pi R^2L$。

当 $r<R$：

结论

$$
E(2\pi rL)=\frac{\rho\pi r^2L}{\varepsilon_0}
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.}
$$

当 $r\ge R$：

结论

$$
E(2\pi rL)=\frac{\rho\pi R^2L}{\varepsilon_0}
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{E(r)=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0r}.}
$$

场在 $r=R$ 连续；内部随 $r$ 线性增加，外部按 $1/r$ 衰减。

分区域解题与检查

Step 1：判断为什么能用高斯定理直接求场。 无限长、均匀、绕轴旋转对称，排除了轴向和周向的特殊方向，所以电场只能沿柱坐标径向 $\hat{\mathbf r}$。平移对称性又保证场强不依赖 $z$；旋转对称性保证不依赖方位角。

Step 2：选择高斯面。 取与带电柱同轴、半径 $r$、长度 $L$ 的闭合圆柱面。端面法向沿 $\pm\hat{\mathbf z}$，而电场沿 $\hat{\mathbf r}$，故

$$
\Phi_{\rm ends}=0.
$$

侧面上 $E(r)$ 处处相同，且与外法向同向：

$$
\Phi_{\rm side}=E(r)(2\pi rL).
$$

Step 3：计算 $r<R$ 时的包围电荷。

$$
Q_{\rm in}=\rho\times\pi r^2L.
$$

代入 $E(2\pi rL)=Q_{\rm in}/\varepsilon_0$，约去 $\pi rL$：

$$
2E=\frac{\rho r}{\varepsilon_0}
\quad\Rightarrow\quad
E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.
$$

Step 4：计算 $r>R$ 时的包围电荷。 高斯面虽然继续变大，但实际带电区域半径只有 $R$：

$$
Q_{\rm in}=\rho\pi R^2L.
$$

因此

$$
E(2\pi rL)=\frac{\rho\pi R^2L}{\varepsilon_0}
\quad\Rightarrow\quad
E=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0r}.
$$

Step 5：检查边界。 在 $r=R$ 处两式都给出 $\rho R/(2\varepsilon_0)$。因为这里只有体电荷而没有额外的面电荷层，法向场应连续，结果符合这一要求。

线电荷极限、面电荷柱壳与有限长修正

极限一：细线极限。 令 $R\to0$ 而保持单位长度电荷 $\lambda=\rho\pi R^2$ 不变。外部场

$$
E=\frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0r}
=\boxed{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}.}
$$

这是无限长均匀带电直线的标准结果（用单位长度的高斯柱面可直接写出）。注意 $r\to0$ 处线模型发散——真实的细线总有半径，线模型只在 $r\gg R$ 时有效。

极限二：面电荷柱壳。 电荷 $\sigma_0$ 均匀分布在半径 $R$ 的柱面上（$\lambda=2\pi R\sigma_0$）。高斯面在壳内不包围电荷，在壳外包围全部线密度：

$$
E(r)=
\begin{cases}
0,&r<R,\[2mm]
\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}=\dfrac{\sigma_0R}{\varepsilon_0r},&r>R.
\end{cases}
$$

$r=R$ 处法向场跳变 $\sigma_0/\varepsilon_0$，与 5.4 节球面的跳变规律相同——都是面电荷层的普遍性质。

讨论：有限长柱体。 以上结果依赖“无限长”假设：柱长 $L\gg r$ 且考察点远离两端时，中部场近似上述公式；靠近端部场出现轴向分量，必须回到库仑积分直接计算。“无限长”不是物理事实，而是把端部效应推走的建模手段，判断标准是考察点到两端的距离是否远大于到轴的距离。

应用：同轴电缆。 半径 $a<b$ 的同轴导体柱分别带 $\pm\lambda$，两柱之间的场即细线场 $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$，与内柱半径无关（高斯面只包围内导体）。这是同轴电缆场与电容（12.4 节）的基础。

5.4 均匀带电球面与球体

建模

球半径为 $R$ 的均匀带电球面（总电荷 $Q$）与均匀带电实心球（体密度 $\rho$）；由球对称性，$\mathbf E=E(r)\hat{\mathbf r}$。

推导

取半径 $r$ 的同心高斯球面，通量为 $E(r)4\pi r^2$。薄球面内部 $r<R$ 时 $Q_{\rm in}=0$，外部时 $Q_{\rm in}=Q$。均匀实心球内部包围电荷随体积增长：

$$
Q_{\rm in}=\rho\frac{4\pi r^3}{3};
$$

外部则为总电荷 $\rho4\pi R^3/3$。分别代入高斯定理即可得到下面的分段结果。

薄球面，总电荷 $Q$：

结论

$$
\boxed{
E(r)=
\begin{cases}
0,&r<R,\[2mm]
\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2},&r>R.
\end{cases}}
$$

表面法向场发生跳变：$E_{\rm out}-E_{\rm in}=\sigma/\varepsilon_0$。

均匀带电实心球，体密度 $\rho$： 内部包围电荷为 $Q_r=\rho(4\pi r^3/3)$，所以

结论

$$
\boxed{
E(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0},&r<R,\[2mm]
\dfrac{\rho R^3}{3\varepsilon_0r^2},&r\ge R.
\end{cases}}
$$

外部等效为总电荷集中于球心；这来自球对称性，而不是任意形状带电体都可以这样等效。

球面与实心球的逐步计算

Step 1：由对称性确定场。 对电荷分布作任意绕球心旋转，物理系统不变，因此电场不可能偏向某个切向方向，只能写成

$$
\mathbf E=E(r)\hat{\mathbf r}.
$$

Step 2：选同心高斯球。 半径为 $r$ 的球面上 $E(r)$ 等大，电场与面积元同向：

$$
\oint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S
=E(r)\oint_S\mathrm dS=E(r)4\pi r^2.
$$

Step 3：薄球面内部。 当 $r<R$，高斯面没有包围位于 $R$ 处的面电荷，所以

$$
E(r)4\pi r^2=0\quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
$$

这并非因为各电荷元没有场，而是它们的矢量和在任意内部点严格抵消。

Step 4：薄球面外部。 当 $r>R$，包围电荷为 $Q$：

$$
E(r)4\pi r^2=\frac Q{\varepsilon_0}
\quad\Rightarrow\quad
E(r)=\frac Q{4\pi\varepsilon_0r^2}.
$$

Step 5：实心球内部。 均匀密度可先由总电荷写成

$$
\rho=\frac Q{(4/3)\pi R^3}.
$$

半径 $r<R$ 内包围的电荷为

$$
Q_r=\rho\frac{4\pi r^3}{3}=Q\frac{r^3}{R^3}.
$$

代入高斯定理：

$$
E(r)4\pi r^2
=\frac{Qr^3}{\varepsilon_0R^3}
\quad\Rightarrow\quad
E(r)=\frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}
=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}.
$$

Step 6：检查。 $r=0$ 时由对称性应有 $E=0$；$r=R$ 时内外公式均给出 $Q/(4\pi\varepsilon_0R^2)$；远场为点电荷场。

电势分布与两则应用

电势。 薄球面：外区 $\varphi(r)=Q/(4\pi\varepsilon_0r)$；内区 $E=0$ 意味着电势为常数，由 $r=R$ 处连续得

$$
\varphi(r)=\frac Q{4\pi\varepsilon_0R}\qquad(r\le R),
$$

球面内部处处等势。均匀实心球：外区仍为点电荷势；内区由 $\varphi(r)=\varphi(R)-\int_r^R E,\mathrm dr’$ 逐步积分：

$$
\varphi(r)=\frac Q{4\pi\varepsilon_0R}
-\int_r^R\frac{Q r’}{4\pi\varepsilon_0R^3},\mathrm dr’
=\frac{Q(3R^2-r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3}
=\frac{\rho(3R^2-r^2)}{6\varepsilon_0}.
$$

结论：球内电势按 $r^2$ 抛物线下降，球心处为球面值的 $3/2$ 倍；实心球没有面电荷，$E$ 与 $\varphi$ 在 $r=R$ 均连续。

应用一：均匀带电球内的简谐振动。 电荷 $-e$ 在均匀正电荷球（密度 $\rho$）内部所受电场力为

$$
\mathbf F=-e,\frac{\rho,\mathbf r}{3\varepsilon_0}
=-\frac{e\rho}{3\varepsilon_0},\mathbf r,
$$

力与位移成正比且指向球心——这是谐振子。由 $m\ddot{\mathbf r}=-(e\rho/3\varepsilon_0)\mathbf r$：

$$
\boxed{\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{3\varepsilon_0 m}},}
$$

电子在球内作简谐振动。这正是 J.J. 汤姆孙“葡萄干布丁”原子模型的动力学：电子在均匀正电荷球内以固定频率振动，与电子在球内的位置无关。引力上的完全类比是“穿过地球的隧道”：均匀地球内部引力 $\propto r$，物体作简谐振动。

应用二：球壳内部场为零意味着什么。 高斯定理只告诉我们内部场为零；从库仑积分看，球壳上任一电荷元在内部点的场都不为零，是全部电荷元的贡献严格矢量抵消。任何偏离球对称的壳体（如立方体壳、椭球壳）内部场都不为零——球对称是抵消成立的充分条件，不是“距离远到可以忽略”的结果。这与 6.2 节“面外电荷对闭合面净通量为零、但对面上各点场有贡献”是同一逻辑。

5.5 极限互化与量纲自查

把四个模型放进一张“远场—近场”地图：远场一律退化为点电荷场，近场行为由电荷分布的维度决定。极限互化是检查积分结果最有效的工具。

推导

• 远场（$r\gg$ 分布尺寸）：环、盘、柱、球全部给出点电荷场 $Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$；柱体按单位长度电荷给出 $1/r$ 的线形式，退化为线模型后亦然。
• 近场：零维（点）$\propto1/r^2$；一维（线）$\propto1/r$；二维（面）$\propto$ 常数；三维均匀体内部 $\propto r$。
• 模型互化：盘 $R\to\infty$ 成为平面；柱 $R\to0$ 保持 $\lambda$ 成为线；环与盘的远场同为点电荷；球面与实心球外部不可区分（外部只取决于总电荷）。
• 环与盘的近场不同：$z\to0$ 时环轴场趋于零，盘轴场趋于 $\sigma/(2\varepsilon_0)$。原因正是维度：环是一维分布（电荷集中在 $r=a$），盘是二维分布（电荷填满盘面）。

量纲自查。 所有结果都必须能写成 $\sigma/\varepsilon_0$、$\rho R/\varepsilon_0$、$Q/(\varepsilon_0R^2)$ 之类的组合：

$$
\left[\frac Q{4\pi\varepsilon_0r^2}\right]
=\left[\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right]
=\left[\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\right]
=\mathrm{N/C}.
$$

结论：任何积分做完先查两件事——极限是否互化、量纲是否为 $\mathrm{N/C}$（场）或 $\mathrm V$（势）。查不过，一定是积分号内的几何或系数出错。

---

6. 高斯定理及其与库仑定律的关系

6.1 定理

取任意闭合曲面 $S$，规定外法向为正，曲面内部的净电荷记为 $Q_{\rm in}$。从点电荷库仑场、立体角和叠加原理出发的完整推导见 6.2 节：

结论

$$
\boxed{\oint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S
=\frac{Q_{\rm in}}{\varepsilon_0}.}
$$

左侧是穿出闭面的电通量；只有面内净电荷决定总通量。面外电荷虽能在面上产生场，但进入和离开闭面的净通量为零。

6.2 从库仑定律推导

Step 1： 点电荷 $q$ 对面积元 $\mathrm dS$ 的通量为

推导

$$
\mathrm d\Phi_E=\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cos\theta,\mathrm dS.
$$

Step 2： 定义该面积元对点电荷张开的立体角

$$
\mathrm d\Omega=\frac{\cos\theta,\mathrm dS}{r^2}.
$$

故

$$
\mathrm d\Phi_E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\mathrm d\Omega.
$$

Step 3： 若点电荷在闭面内，整个闭面对它张开的总立体角为 $4\pi$：

$$
\Phi_E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(4\pi)=\frac q{\varepsilon_0}.
$$

若电荷在面外，带符号立体角总和为零。

为什么面内点张开的立体角恒为 $4\pi$： 以点电荷为心作一个半径足够小、完全位于闭面内的辅助球面。从点电荷出发的每条光线与闭面相交若干次，每次穿出带正立体角、穿入带负立体角。对内部点，光线最终必穿出闭面一次，符号交替后净贡献恰为一次穿出的立体角；把每条光线锥平移到辅助球面上，闭面被“折叠”回球面后恰好无重叠、无遗漏地覆盖一次，总立体角即 $4\pi$。对外部点，光线要么不碰闭面，要么一进一出成对抵消，净立体角为零。

Step 4： 对多个电荷用叠加原理，得到 $\Phi_E=Q_{\rm in}/\varepsilon_0$。

面外电荷为什么给出零净通量

从一个面外点电荷出发的一束极细立体角锥，若穿过闭合曲面，必然先进入再离开。进入处外法向与场方向夹角大于 $90^\circ$，通量为负；离开处通量为正。两处对点电荷张开的立体角大小相同，因此贡献逐束抵消：

$$
\mathrm d\Phi_{\rm enter}
=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\mathrm d\Omega,
\qquad
\mathrm d\Phi_{\rm exit}
=+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\mathrm d\Omega.
$$

这解释了“面外电荷会改变曲面各点的场，却不改变总通量”。

6.3 微分形式

由散度定理

推导

$$
\oint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S
=\int_V\nabla\cdot\mathbf E,\mathrm dV,
\qquad
Q_{\rm in}=\int_V\rho,\mathrm dV.
$$

对任意体积成立，因此

结论

$$
\boxed{\nabla\cdot\mathbf E=\frac\rho{\varepsilon_0}.}
$$

库仑定律蕴含高斯定理；反过来，仅凭高斯定理还不能唯一确定电场，因为它只限制散度。再加静电条件 $\nabla\times\mathbf E=0$、边界条件和对称性，才可恢复唯一的静电解。

应用：面电荷处的跳变。 积分形式不需要场可微。对面电荷层取扁药盒（上下底面积 $A$，高度趋于零），侧面贡献消失，得

$$
E_n^{(2)}-E_n^{(1)}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
$$

即法向场在面电荷处跳变。这是 20.1 节边值关系的雏形，也是 5.2 节圆盘场跳变 $\sigma/\varepsilon_0$ 的一般化。

6.4 两个标准高斯面

建模

球面： 对球对称电荷，半径 $r$ 的高斯面上 $E$ 等大且沿法向，故

推导

$$
E(4\pi r^2)=Q_{\rm in}/\varepsilon_0.
$$

无限平面： 取横跨平面的薄柱形“药盒”。侧面通量为零，上下底各为 $EA$：

$$
2EA=\sigma A/\varepsilon_0
\quad\Rightarrow\quad E=\sigma/(2\varepsilon_0).
$$

无限平面推导中每个对称性条件的作用

1. 平面内平移不改变电荷分布，所以 $E$ 不能依赖平面内坐标。
2. 绕法线旋转不改变系统，所以不存在特殊的面内方向，切向场只能为零。
3. 关于平面镜像后系统不变，所以平面两侧场强大小相等、方向相反。
4. 取底面积为 $A$ 的药盒，上底通量 $EA$；下底外法向向下，电场也向下，所以点积仍为 $+EA$。
5. 药盒包围电荷 $\sigma A$，于是

$$
EA+EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
$$

约去任意选取的 $A$，得到 $E=\sigma/(2\varepsilon_0)$。

6.5 应用与讨论

应用一：一般球对称分布的场。 对任何只依赖 $r$ 的密度 $\rho(r)$，高斯定理给出

$$
E(r)=\frac{Q_{\rm enc}(r)}{4\pi\varepsilon_0r^2},
\qquad
Q_{\rm enc}(r)=\int_0^r\rho(s),4\pi s^2,\mathrm ds,
$$

三维问题化为一重积分。例如 $\rho(r)=\alpha/r$ 时 $Q_{\rm enc}=2\pi\alpha r^2$，得 $E=\alpha/(2\varepsilon_0)$ 为常数——密度按 $1/r$ 衰减恰好补偿球面面积的 $r^2$ 增长。该例中 $r=0$ 处密度发散，真实分布应在某个内半径处截断。

应用二：逆平方律精确性的检验。 高斯定理成立的关键是库仑场精确的 $1/r^2$ 幂次。若 $E\propto r^{-(2+\delta)}$，半径为 $r$ 的高斯球面通量为 $4\pi kq/r^\delta$，随 $r$ 改变，高斯定理立即失效。因此“带电导体球壳内部场是否严格为零”成为对库仑定律指数的直接检验：

• Cavendish（1773）：$\delta<0.02$；
• Maxwell（1873）：$\delta<5\times10^{-5}$；
• 现代实验：$|\delta|$ 上限已被压到 $10^{-16}$ 量级。

若光子具有非零静止质量，库仑势将被汤川因子 $e^{-\mu r}$ 修正，同一类实验给出光子质量上限（约 $10^{-54}$ kg 量级）。高斯定理的每一条推论——导体壳内无场、通量正比于电荷——都在检验自然界最精确的定律之一。

应用三：高斯定理能做什么、不能做什么。 通量是一个标量方程，只能确定场的一个信息（如对称性下的唯一非零分量）。对称性不足时，$\oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S$ 无法反解出三个分量的矢量场，此时必须回到库仑积分（第 5 章）或引入电势（第 7 章）。判断标准：能否找到一个高斯面，使 $E$ 在其上大小恒定且方向已知。

---

7. 静电场的环路定理

7.1 定理内容与物理意义

在时间不变的电荷分布中任取闭合路径 $C$，考察单位正试探电荷沿路径一周时静电力所做的功。7.2 节从点电荷库仑场证明其为零，叠加原理再将结论推广到任意静止电荷分布。

静电场中，电场沿任意闭合路径的环量为零：

结论

$$
\boxed{\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l=0.}
$$

物理意义是：试探电荷沿任意闭合路径运动一周，静电力所做的总功为零。因此静电力是保守力，可以定义单值电势；两点间的电势差只由端点决定，与所选积分路径无关。

7.2 从库仑场逐步推导

Step 1： 点电荷的电场为

推导

$$
\mathbf E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat{\mathbf r}.
$$

Step 2： 路径微元分解为径向与切向部分。由于 $\hat{\mathbf r}$ 与切向位移垂直，只有径向位移贡献功：

$$
\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2},\mathrm dr.
$$

Step 3： 注意 $\mathrm d(1/r)=-\mathrm dr/r^2$，故

$$
\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=-\mathrm d\left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\right)
=-\mathrm d\varphi.
$$

Step 4： 沿闭合路径积分，起点与终点相同：

$$
\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=-\oint_C\mathrm d\varphi=0.
$$

多个点电荷或连续电荷分布的场是点电荷场的线性叠加，每一项的闭合积分都为零，因此总场也满足环路定理。

中心力场的观点。 上面的推导只用到点电荷场的两个性质：方向沿径向、大小只依赖 $r$。任何满足 $\mathbf F=f(r)\hat{\mathbf r}$ 的中心力场，切向微元都不做功，只有径向微元贡献：

$$
\oint_C\mathbf F\cdot\mathrm d\mathbf l
=\oint_C f(r),\mathrm dr
=\left[G(r)\right]_{r_A}^{r_A}=0,
$$

其中 $G$ 是 $f$ 的原函数。保守性来自“径向对称”，$1/r^2$ 幂次只决定具体的势函数形式 $\varphi\propto1/r$。这也是“任意中心力场都可定义势能”的力学对应物。

任意路径而非径向路径的说明

一般位移可分解为

$$
\mathrm d\mathbf l
=\hat{\mathbf r},\mathrm dr+\mathrm d\mathbf l_t,
$$

其中 $\mathrm d\mathbf l_t$ 与 $\hat{\mathbf r}$ 垂直。点电荷场只有径向分量，所以

$$
\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=E_r\mathrm dr+\underbrace{\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l_t}_{0}.
$$

因此前面的积分并没有假设实际路径必须是直线；弯曲路径中的切向小段不做功，结果仍只由端点半径决定。

7.3 微分形式及与电势的关系

由斯托克斯定理

推导

$$
\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=\int_S(\nabla\times\mathbf E)\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

对任意曲面均为零，所以

结论

$$
\boxed{\nabla\times\mathbf E=0.}
$$

在单连通区域内，无旋条件保证存在标量势函数

结论

$$
\boxed{\mathbf E=-\nabla\varphi,\qquad
\varphi_B-\varphi_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l.}
$$

负号表示电场方向是电势下降最快的方向。需要注意，本节结论只适用于静电场；随时间变化的磁场会产生涡旋电场，此时一般有 $\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l\ne0$。

应用：能量守恒、路径选择与单连通性

应用一：试探电荷的能量守恒。 电荷 $q$ 在静电场中从 A 运动到 B，静电力做功 $q(\varphi_A-\varphi_B)$ 等于动能增量：

$$
\frac12mv_B^2-\frac12mv_A^2=q(\varphi_A-\varphi_B),
$$

即 $\tfrac12mv^2+q\varphi$ 守恒。电子伏特单位由此而来：$1\ \mathrm{eV}$ 是电子经过 $1$ V 电势差获得的能量，$1\ \mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\ \mathrm J$。

应用二：选最方便的路径积分。 路径无关性允许把积分路径换成最易算的一条——通常是从参考点出发沿径向的直线（2.3 节）或沿坐标轴的折线。计算结果与真实路径无关，这是环路定理赋予的实用自由。

应用三：关于单连通性。 数学上“无旋 $\Rightarrow$ 存在标量势”需要单连通区域；但静电场的势可以直接由库仑积分构造，处处单值，不依赖区域拓扑。磁场中的对应问题由磁矢势描述（39 节），静电场中不会出现多值势。

---

第二章 导体与电容系统

8. 导体的静电平衡

8.1 定义与四条基本性质

建模

静电平衡指宏观电荷分布不再随时间改变，导体内部无持续电流。理想均匀导体满足：

推导

若导体内部 $\mathbf E\ne0$，欧姆关系 $\mathbf J=\kappa\mathbf E$ 给出非零电流，与“电荷分布不再改变”矛盾，所以内部必须有 $\mathbf E=0$。于是任意两内点间

$$
V_B-V_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l=0,
$$

导体等势。再在导体内部取任意高斯面，因通量为零，包围净电荷也为零，故平衡时体内无净电荷。最后取跨越表面的窄回路，切向环量为零，表面外侧切向场必须为零；取薄高斯柱则得法向跳变 $E_n=\sigma/\varepsilon_0$。

1. 导体内部 $\mathbf E=0$；否则自由电荷仍会定向运动。
2. 导体整体及每个相连部分等势；由 $\mathbf E=-\nabla\varphi=0$。
3. 净电荷位于表面；由导体内部高斯面和 $\mathbf E=0$ 得体电荷密度 $\rho=0$。
4. 表面外侧电场垂直表面且 $E_n=\sigma/\varepsilon_0$；切向场若非零会驱动表面电荷移动。

应用：导体空腔与静电屏蔽。

建模：一闭合导体壳，腔内可以放或不放电荷，壳外可以有任意外电荷分布。壳壁厚度有限，内外两个表面可以独立携带电荷。

推导：在导体壁内部取高斯面：壁中 $\mathbf E=0$，故高斯面内净电荷为零。若腔内有电荷 $q$，则内表面必感应出总量 $-q$，外表面总电荷增加 $q$；若腔内无电荷，则内表面电荷为零，且腔内电场处处为零（腔壁等势 + 唯一性定理，9.3 节）。

结论：腔内无电荷时，外场的任何变化都不能进入腔体——法拉第笼；腔内有电荷 $q$ 时，内表面感应 $-q$、外表面总电荷增加 $q$，若壳接地，腔内电荷的存在完全不改变壳外的电场。无线电屏蔽室、示波器同轴线的外屏蔽层都是这一性质的应用。注意“完全屏蔽”以导体壳闭合为前提；网孔大于电磁波波长时屏蔽失效。

8.2 不考虑载流子惯性的弛豫时间

建模

均匀各向同性导体（电导率 $\kappa$、介电常数 $\varepsilon$），体内有体电荷分布 $\rho(\mathbf r,t)$，经电流弛豫到表面：

欧姆定律的局部形式为 $\mathbf J=\kappa\mathbf E$，其中 $\kappa$ 是电导率。与连续性方程、高斯定理联立：

推导

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0,
$$

$$
\nabla\cdot\mathbf J=\kappa\nabla\cdot\mathbf E
=\frac{\kappa}{\varepsilon}\rho.
$$

于是

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\frac{\kappa}{\varepsilon}\rho.
$$

积分得

结论

$$
\boxed{\rho(t)=\rho(0)e^{-t/\tau_r},\qquad
\tau_r=\frac{\varepsilon}{\kappa}.}
$$

$\tau_r$ 是电荷弛豫时间：经过一个 $\tau_r$，体电荷降为原来的 $e^{-1}$。金属中它通常极短，因此宏观静电学把平衡近似看成瞬时建立。

数值例。 铜的电导率 $\kappa\approx6\times10^{7}$ S/m，取 $\varepsilon=\varepsilon_0$：

$$
\tau_r=\frac{\varepsilon_0}{\kappa}
\approx\frac{8.85\times10^{-12}}{6\times10^{7}}
\approx1.5\times10^{-19}\ \mathrm s.
$$

即便载流子每 $10^{-14}$ s 碰撞一次，弛豫仍比碰撞快五个数量级——任何宏观观测都无法分辨这个过程，“平衡瞬时建立”在宏观静电场中是完全可靠的近似。

把三个方程连成完整解题链

Step 1：选取模型。 假设导体均匀、各向同性，电导率 $\kappa$ 和介电常数 $\varepsilon$ 不随位置与时间变化。只讨论宏观平均，不考虑电子惯性。

Step 2：写局域欧姆定律。

$$
\mathbf J=\kappa\mathbf E.
$$

它的物理意义是：只要导体内部存在电场，就会出现电流，把体电荷搬走。

Step 3：对两边取散度。 因 $\kappa$ 为常数：

$$
\nabla\cdot\mathbf J
=\kappa\nabla\cdot\mathbf E.
$$

Step 4：用介质中的高斯定律。 对线性均匀介质，$\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon$：

$$
\nabla\cdot\mathbf J=\frac\kappa\varepsilon\rho.
$$

Step 5：用连续性方程。

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t}
=-\nabla\cdot\mathbf J
=-\frac\kappa\varepsilon\rho.
$$

这已经是每个固定位置上关于时间的一阶微分方程。

Step 6：分离变量并积分。

$$
\frac{\mathrm d\rho}{\rho}
=-\frac\kappa\varepsilon\mathrm dt.
$$

从 $0$ 积到 $t$：

$$
\ln\frac{\rho(t)}{\rho(0)}
=-\frac\kappa\varepsilon t.
$$

指数化后得到 $\rho(t)=\rho(0)e^{-\kappa t/\varepsilon}$，从而识别 $\tau_r=\varepsilon/\kappa$。

Step 7：量纲检查。 $[\varepsilon/\kappa]=(\mathrm{F/m})/(\mathrm{S/m})=\mathrm{F/S}=\mathrm s$，确实是时间。

8.3 考虑惯性与阻尼：Drude 模型

建模

设电子数密度为 $n$，电子位移为 $x$，阻尼率为 $\gamma$。电子运动方程

推导

$$
m\ddot x+m\gamma\dot x=-eE.
$$

取一个平板式微小电荷分离模型。电子相对离子位移 $x$ 后，表面电荷密度大小为 $ne x$，内部恢复场大小为

$$
E=\frac{ne}{\varepsilon}x,
$$

方向使电子回到平衡位置。代回运动方程：

$$
m\ddot x+m\gamma\dot x+\frac{ne^2}{\varepsilon}x=0.
$$

定义等离子体频率

结论

$$
\boxed{\omega_p=\sqrt{\frac{ne^2}{m\varepsilon}}},
$$

得到

结论

$$
\boxed{\ddot x+\gamma\dot x+\omega_p^2x=0.}
$$

• 无阻尼 $\gamma=0$：$x=A\cos(\omega_pt+\phi)$，体系不真正“停下”，而作等离子体振荡。
• 欠阻尼 $\gamma<2\omega_p$：振幅按 $e^{-\gamma t/2}$ 衰减并振荡。
• 过阻尼 $\gamma>2\omega_p$：两个指数衰减模态，无振荡地趋于平衡。

欧姆弛豫式对应忽略惯性后的宏观极限；Drude 式说明真实建立过程为何可能包含极快振荡和碰撞阻尼。

阻尼解的逐步求法

对

$$
\ddot x+\gamma\dot x+\omega_p^2x=0
$$

尝试指数解 $x=e^{st}$。代入后：

$$
s^2e^{st}+\gamma se^{st}+\omega_p^2e^{st}=0.
$$

因 $e^{st}\ne0$，特征方程为

$$
s^2+\gamma s+\omega_p^2=0.
$$

求根：

$$
s_{1,2}=-\frac\gamma2
\pm\sqrt{\frac{\gamma^2}{4}-\omega_p^2}.
$$

• 若 $\gamma<2\omega_p$，根为 $-\gamma/2\pm i\omega_d$，其中 $\omega_d=\sqrt{\omega_p^2-\gamma^2/4}$，所以

$$
x(t)=e^{-\gamma t/2}
[A\cos(\omega_dt)+B\sin(\omega_dt)].
$$

• 若 $\gamma=2\omega_p$，重根 $s=-\gamma/2$，所以 $x=(A+Bt)e^{-\gamma t/2}$。
• 若 $\gamma>2\omega_p$，两个根都为负实数，位移是两个衰减指数之和。

这里“达到平衡”严格说是渐近趋近；实际常用振幅衰减到初值某个容许比例所需的时间作为建立时间。

数值例与金属光学。 铜的电子数密度 $n\approx8.5\times10^{28}$ m$^{-3}$，代入

$$
\omega_p=\sqrt{\frac{ne^2}{m\varepsilon_0}}
\approx1.6\times10^{16}\ \mathrm{rad/s},
$$

对应波长 $\lambda=2\pi c/\omega_p\approx115$ nm（远紫外）。金属对可见光的反射、对远紫外的透明正是等离子体频率的宏观表现：频率低于 $\omega_p$ 的电磁场被自由电子集体响应所屏蔽（反射），高于 $\omega_p$ 时电子来不及响应（透射）。这一图像是金属光学性质的基础。

讨论：两个时间尺度的分工。 $\tau_r=\varepsilon/\kappa$ 回答“体电荷多快消失”，$\omega_p$ 回答“恢复过程中振荡多快”。宏观静电学取 $\tau_r\to0$ 的极限；要解释极快暂态和金属光学，才需要 Drude 的惯性项。

---

9. 汤姆孙定理（静电能极小定理）

9.1 定理内容

固定每个彼此绝缘导体的总电荷，只允许电荷在同一导体表面重新分布，比较所有允许分布的静电能。9.2 节将证明：只有导体等势时任意允许变化的一阶项为零，而二阶场能非负，因此平衡分布给出能量极小值。

在若干导体的总电荷分别固定时，静电平衡分布使系统静电能取得最小值。这里的“可变分布”是电荷可以在各自导体上自由移动，但不能跨越彼此绝缘的导体。

9.2 从能量变分推导等势条件

电荷分布的能量为

推导

$$
U=\frac12\int\rho\varphi,\mathrm dV
=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2,\mathrm dV.
$$

在同一导体表面把微量电荷 $\delta q$ 从点 A 移到点 B，能量一阶改变为

$$
\delta U=(\varphi_B-\varphi_A)\delta q.
$$

若 $\varphi_A\ne\varphi_B$，总能找到一个移动方向使 $\delta U<0$，所以原分布不是最低能量。平衡必须满足

$$
\varphi_A=\varphi_B,
$$

即每个导体等势。二阶能量增量对应附加电场的能量 $\frac{\varepsilon_0}{2}\int|\delta\mathbf E|^2\mathrm dV\ge0$，故该驻点确为极小值。

为什么一阶能量变化是势差乘电荷

从 A 取走正电荷 $\delta q$，体系在 A 处少了一份能量 $\varphi_A\delta q$；再把它放到 B，需要增加 $\varphi_B\delta q$。净变化为

$$
\delta U=-\varphi_A\delta q+\varphi_B\delta q
=(\varphi_B-\varphi_A)\delta q.
$$

若 $\varphi_B>\varphi_A$，选择把正电荷从 B 移向 A，就有 $\delta U<0$。所以任何表面存在不同电势的分布都不是能量最低态。只有处处等势，所有保持总电荷不变的一阶搬运才不改变能量。

形式变分的一致性核对

用 $U=\frac12\int\rho\varphi,\mathrm dV$ 直接变分：

$$
\delta U=\frac12\int(\delta\rho,\varphi+\rho,\delta\varphi+\delta\rho,\delta\varphi),\mathrm dV.
$$

格林互易定理保证 $\int\delta\rho,\varphi,\mathrm dV=\int\rho,\delta\varphi,\mathrm dV$（两个电荷分布的相互作用能两种写法相等），于是

$$
\delta U=\int\varphi,\delta\rho,\mathrm dV+\frac12\int\delta\rho,\delta\varphi,\mathrm dV.
$$

一阶项：把 $\delta q$ 从 A 移到 B，$\delta\rho$ 集中在两点，$\int\varphi,\delta\rho,\mathrm dV=(\varphi_B-\varphi_A)\delta q$，与 9.2 节的搬运论证一致；二阶项 $\frac12\int\delta\rho,\delta\varphi,\mathrm dV=\frac{\varepsilon_0}{2}\int|\delta\mathbf E|^2\mathrm dV\ge0$ 恒非负。两条路线给出同一个结论：一阶为零给出等势条件，二阶非负给出极小性。

9.3 应用与讨论

应用一：唯一性定理。 设同一组边界条件（各导体电势固定）有两个解 $\mathbf E_1,\mathbf E_2$，差场 $\mathbf E_3=\mathbf E_1-\mathbf E_2$ 在无电荷区满足 $\nabla\cdot\mathbf E_3=0$，在各导体表面满足 $\varphi_3=0$。于是

$$
\int_V E_3^2,\mathrm dV
=-\int_V\varphi_3\nabla\cdot\mathbf E_3,\mathrm dV
+\oint_S\varphi_3,\mathbf E_3\cdot\mathrm d\mathbf S=0,
$$

故 $\mathbf E_3=0$，解唯一。这是汤姆孙定理“能量凸性”的精确数学形态，也是边值问题解法的合法性基础：镜像法、分离变量法凑出的任何满足条件的解都是唯一解。

应用二：Earnshaw 定理与静电悬浮的不可能。 自由电荷 $q$ 在静电场中的势能 $U=q\varphi$。电荷所在点周围若无源电荷，则 $\varphi$ 满足 $\nabla^2\varphi=0$。调和函数在内部不能取得严格极值（若 $\varphi$ 在某点取严格极大，三个二阶偏导均 $\le0$ 且和为零，只能全为零，与“严格极大”矛盾；严格证明用调和函数的平均值性质——球面平均值等于球心值）。因此 $U$ 只有鞍点：沿某些方向稳定、沿另一些方向不稳定。

结论：任何纯静电构型都不能在三维空间稳定囚禁一个自由电荷——这就是为什么离子阱必须使用振荡电场（Paul 阱）、静电悬浮器需要反馈控制的根本原因。

应用三：感应电荷吸引力的能量解释。 点电荷 $q$ 靠近接地的中性导体球，导体表面出现感应电荷，系统能量 $U(x)$ 随距离 $x$ 减小而降低（感应总是使能量下降，这正是汤姆孙定理），于是

$$
F=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx}<0,
$$

点电荷被吸引。22 节电像法的定量计算给出的力与这一能量图像完全一致。

应用四：屏蔽的能量观点。 接地导体腔屏蔽外部场（8.1 节），也可以理解为导体表面的自由电荷总能调整到使腔内能量最小——屏蔽是能量极小原理的必然推论。

---

10. 表面电荷密度与曲率

10.1 先澄清一个常见误解

建模

比较不同导体表面的局部曲率与面电荷密度时，必须固定总电荷、外场和其他边界；否则没有同一可比较的边值问题。

推导

面电荷密度由整个区域的 Laplace/Poisson 方程和全部边界条件共同确定。两个局部曲率相同的表面若处在不同外场或邻近不同导体，法向场 $E_n$ 可以不同，因而 $\sigma=\varepsilon_0E_n$ 也不同。这一反例逻辑说明不能从局部 $R$ 唯一推出 $\sigma$；10.2 节能够严格得到的是法向场变化率与两个主曲率之和的局部关系。

“曲率越大，面电荷密度一定越大”是有条件的经验描述，不存在对任意导体都成立的简单全局公式 $\sigma\propto1/R$。$\sigma$ 由整个边界形状、其他导体、总电荷和外场共同决定。

两个简单反例。 （1）平行板电容器的平板曲率为零（$R=\infty$），却可以通过提高电压获得任意大的 $\sigma$——曲率与 $\sigma$ 在此完全脱钩。（2）同一导体上不同位置的 $\sigma$ 是等势约束下边值问题的整体解：一个长椭球导体两端曲率大、电荷集中于两端，但密度比例并不等于曲率比例。只有少数高对称情形（如 10.3 节的两个相接小球）才存在精确的 $\sigma\propto1/R$。

10.2 表面附近的局部曲率关系

建模

取导体外法线距离 $n$，表面的两个主曲率半径为 $R_1,R_2$。在贴近表面、忽略切向场变化的局部近似下，拉普拉斯方程写成

推导

$$
\frac{\partial E_n}{\partial n}
+\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)E_n\approx0.
$$

又因 $E_n(0^+)=\sigma/\varepsilon_0$，所以

结论

$$
\boxed{\left.\frac{\partial E_n}{\partial n}\right|_{0^+}
=-\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)\frac\sigma{\varepsilon_0}.}
$$

这条常被称作与 Green 局部曲率公式相关的关系，描述的是场沿法线离开表面时的变化率，不是单凭曲率直接确定 $\sigma$。尖端附近曲率大，场线往往更集中，因而常出现较大的 $|\sigma|$ 和场强，这就是尖端放电的静电学基础。

从曲面法线坐标推导

取导体表面上一小块，在两个主曲率方向建立坐标 $u_1,u_2$，沿外法线建立 $n$。距离表面 $n$ 的平行曲面，其两个切向尺度因子相对于表面分别变为

$$
h_1(n)=1+\frac n{R_1},
\qquad
h_2(n)=1+\frac n{R_2}.
$$

因此一束细小场管的截面积随 $n$ 变化为

$$
A(n)=A(0)\left(1+\frac n{R_1}\right)
\left(1+\frac n{R_2}\right).
$$

表面外紧邻区域没有体电荷，场管通量守恒：

$$
E_n(n)A(n)=E_n(0)A(0).
$$

所以

$$
E_n(n)=\frac{E_n(0)}
{(1+n/R_1)(1+n/R_2)}.
$$

对 $n$ 求导并令 $n=0$：

$$
\left.\frac{\partial E_n}{\partial n}\right|_{0^+}
=-\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right)E_n(0^+).
$$

最后使用导体表面条件 $E_n(0^+)=\sigma/\varepsilon_0$，得到本节结论。这一推导依赖“局部场近似沿法线”和“切向变化相对缓慢”。

与两个精确解的一致性核对

球：半径 $R$ 的带电球，精确场 $E(r)=Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$，在表面 $E_n(0^+)=\sigma/\varepsilon_0$，且

$$
\left.\frac{\partial E}{\partial r}\right|_{R}
=-\frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0R^3}
=-\frac{2\sigma}{\varepsilon_0R},
$$

与公式中 $R_1=R_2=R$ 的 $-(1/R_1+1/R_2)\sigma/\varepsilon_0$ 一致。圆柱：$R_1=R$、$R_2=\infty$，精确场 $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ 在表面给出

$$
\left.\frac{\partial E}{\partial r}\right|_{R}
=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0R^2}
=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0R},
$$

同样一致。两个核对说明：局部曲率公式虽然不决定 $\sigma$ 本身，但对已求得的场，其法向变化率严格受曲率约束。

10.3 应用：相接导体球与尖端放电

应用一：两球相连时 $\sigma\propto1/R$ 精确成立。 两个半径 $r_1\ll r_2$ 的导体球用长导线相连，两球等势。相距很远、忽略相互影响时

$$
V=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0r_1}=\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0r_2}
;\Rightarrow;
\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{r_1}{r_2},
$$

而

$$
\frac{\sigma_1}{\sigma_2}
=\frac{Q_1/(4\pi r_1^2)}{Q_2/(4\pi r_2^2)}
=\frac{r_2}{r_1}.
$$

结论：面电荷密度精确反比于半径。这是“尖端电荷密集”的严格版本——但它来自等势约束，而不是“曲率大所以 $\sigma$ 大”的因果解释。

应用二：尖端放电的定量条件。 空气的击穿场强约 $E_c\approx3\times10^6$ V/m。导体表面 $E=\sigma/\varepsilon_0$：$\sigma\approx2.7\times10^{-5}$ C/m² 即达击穿。由应用一的等比关系，大半径表面的中等 $\sigma$ 会在小半径尖端放大 $r_2/r_1$ 倍——半径 1 mm 的尖端相对 1 m 的球体放大 $10^3$ 倍。避雷针、静电除尘、离子发生器都利用这一机制；反过来，高压设备必须把导体做成大曲率半径的圆滑形状以避免电晕损耗。

---

11. 静电感应与导体在外场中的行为

11.1 静电感应

建模

中性导体置于外电场后，自由电荷重新分布，直到内部总场为零。靠近正外电荷的一侧通常感应负电，远侧感应等量正电；若导体始终绝缘，其中性条件为

推导

$$
\int_S\sigma,\mathrm dS=0.
$$

注意：内部总场为零并不表示外场“消失”，而是感应电荷的场在导体内部恰好抵消外场。

从运动到平衡的因果链

以一个中性金属块置于向右的外场 $\mathbf E_0$ 为例。电子带负电，初始受力

$$
\mathbf F_e=-e\mathbf E_0,
$$

所以电子向左移动，左表面出现负电，右表面因电子缺失出现等量正电。这些表面电荷产生一个向左的感应场 $\mathbf E_{\rm ind}$。导体内总场为

$$
\mathbf E_{\rm total}=\mathbf E_0+\mathbf E_{\rm ind}.
$$

只要 $\mathbf E_{\rm total}\ne0$，自由电子就继续移动；平衡条件只能是

$$
\mathbf E_{\rm ind}=-\mathbf E_0.
$$

若导体与外界绝缘，电子只是内部重新分布，没有电子跨越边界，因此

$$
Q_{\rm induced}^{(+)}+Q_{\rm induced}^{(-)}=0.
$$

若导体接地，地球可以提供或吸收电子，导体净电荷则不必保持为零；此时约束改为导体电势等于地电势。

应用：为什么带电物体会吸引中性轻小物体。 带电棒靠近纸屑时，纸屑内发生感应极化（分子尺度的电子位移或宏观感应电荷分离），靠近带电棒的一侧出现异号电荷、远侧出现同号电荷。非均匀场对感应偶极的梯度力（4.3 节）指向场强更大的区域，即指向带电棒。先感应、后吸引——纸屑整体始终保持电中性。

11.2 经典模型：导体球处于均匀电场

建模

半径 $a$ 的不带电导体球置于 $\mathbf E_0=E_0\hat{\mathbf z}$ 中。轴对称且球外满足拉普拉斯方程。取满足远场条件的 $l=1$ 形式

推导

$$
\varphi(r,\theta)=-E_0r\cos\theta+\frac{A\cos\theta}{r^2}.
$$

导体表面必须等势。令表面电势为零：

$$
0=-E_0a\cos\theta+\frac{A\cos\theta}{a^2}
\quad\Rightarrow\quad A=E_0a^3.
$$

所以

结论

$$
\boxed{\varphi=-E_0\left(r-\frac{a^3}{r^2}\right)\cos\theta.}
$$

表面外法向场为

$$
E_r(a,\theta)=-\left.\frac{\partial\varphi}{\partial r}\right|_{r=a}
=3E_0\cos\theta.
$$

故感应面电荷密度

结论

$$
\boxed{\sigma(\theta)=3\varepsilon_0E_0\cos\theta.}
$$

北半球为正、南半球为负，总感应电荷为零。远处附加项等价于偶极电势，因此诱导偶极矩

结论

$$
\boxed{\mathbf p=4\pi\varepsilon_0a^3\mathbf E_0.}
$$

若球另带总电荷 $Q$，利用叠加原理再加 $Q/(4\pi\varepsilon_0r)$，表面密度变为

$$
\sigma(\theta)=\frac{Q}{4\pi a^2}+3\varepsilon_0E_0\cos\theta.
$$

为什么候选电势只有这两项

球外没有体电荷，所以 $\nabla^2\varphi=0$。轴对称 Laplace 方程的一般分离变量解为

$$
\varphi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^\infty
\left(A_\ell r^\ell+\frac{B_\ell}{r^{\ell+1}}\right)
P_\ell(\cos\theta).
$$

远处必须趋于均匀场电势 $-E_0r\cos\theta=-E_0rP_1(\cos\theta)$，因此增长项只保留 $\ell=1$。球不带净电荷，所以没有 $B_0/r$ 单极项。球面边界的角向形式也是 $\cos\theta$，不需要更高阶 $P_\ell$，于是只剩

$$
\varphi=-E_0r\cos\theta+\frac{B_1}{r^2}\cos\theta.
$$

令 $r=a$ 上电势与 $\theta$ 无关。因为这里只有 $\cos\theta$ 项，其系数必须为零：

$$
-E_0a+\frac{B_1}{a^2}=0
\quad\Rightarrow\quad
B_1=E_0a^3.
$$

再由 $E_r=-\partial\varphi/\partial r$ 得

$$
E_r=E_0\cos\theta
+\frac{2E_0a^3}{r^3}\cos\theta.
$$

令 $r=a$：$E_r=3E_0\cos\theta$。导体内部场为零，法向跳变条件给出 $\sigma=\varepsilon_0E_r$。

最后检查总感应电荷：

$$
Q_{\rm ind}=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi
3\varepsilon_0E_0\cos\theta,a^2\sin\theta
,\mathrm d\theta\mathrm d\phi=0.
$$

这符合球原先中性的条件。

应用：感应极化率、受力与场放大

感应极化率。 $\mathbf p=4\pi\varepsilon_0a^3\mathbf E_0$ 与 4.3 节的感应偶极模型对照，导体球的电子极化率

$$
\alpha_e=4\pi\varepsilon_0a^3=3\varepsilon_0V_{\rm sphere},
$$

即“$3\times$ 球体积 $\times,\varepsilon_0$”。金属球是极化率最大的简单几何体：均匀介质球的极化率为 $4\pi\varepsilon_0a^3(\varepsilon_r-1)/(\varepsilon_r+2)$，其极限 $\varepsilon_r\to\infty$ 正是导体球的结果，任何同样大小的介质球都不会超过它——导体通过自由电荷的宏观迁移实现最大极化。

均匀场中不受合力。 均匀场中 $\nabla E=0$，梯度力公式（4.2 节）给出 $\mathbf F=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E=0$：中性导体球在均匀场中不受合力，只有感应电荷的局部重排。放入非均匀场它才会被拉向场强较大处。

场放大的数值例。 球面最大场强出现在两极：$E_{\max}=3E_0$。取 $E_0=10^5$ V/m、$a=1$ cm，则 $\sigma_{\max}=3\varepsilon_0E_0\approx2.7\times10^{-6}$ C/m²，$E_{\max}=3\times10^5$ V/m，尚未达到空气击穿阈值 $3\times10^6$ V/m；但高压设备表面的微小毛刺（曲率半径 0.1 mm 量级）附近的局部场会轻松超过击穿阈值——毛刺放电（电晕）正是这一机制的宏观表现。

11.3 带电导体表面的电压力

建模

导体表面总场外侧为 $E_{\rm out}=\sigma/\varepsilon_0$，内侧为零。计算表面电荷受到的力时不能把它自身产生的奇异场算进去；作用于该薄层的平均外场为

推导

$$
E_{\rm other}=\frac{E_{\rm out}+E_{\rm in}}2
=\frac\sigma{2\varepsilon_0}.
$$

单位面积受力，即电压力：

结论

$$
\boxed{P=\sigma E_{\rm other}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}
=\frac{\varepsilon_0E_{\rm out}^2}{2}.}
$$

方向沿外法线，表明同号表面电荷倾向于把导体向外拉开。

为什么必须取平均场

把表面电荷层局部近似为无限薄平面电荷。该电荷层自身在两侧产生大小 $\sigma/(2\varepsilon_0)$、方向相反的场。设除这层自身之外的其他电荷在局部产生场 $\mathbf E_{\rm other}$，则

$$
\mathbf E_{\rm out}=\mathbf E_{\rm other}
+\frac\sigma{2\varepsilon_0}\hat{\mathbf n},
$$

$$
\mathbf E_{\rm in}=\mathbf E_{\rm other}
-\frac\sigma{2\varepsilon_0}\hat{\mathbf n}.
$$

相加并除以 2：

$$
\mathbf E_{\rm other}
=\frac{\mathbf E_{\rm out}+\mathbf E_{\rm in}}2.
$$

导体内 $\mathbf E_{\rm in}=0$，外侧 $\mathbf E_{\rm out}=(\sigma/\varepsilon_0)\hat{\mathbf n}$，所以

$$
\mathbf E_{\rm other}
=\frac\sigma{2\varepsilon_0}\hat{\mathbf n}.
$$

面积元上的电荷为 $\sigma\mathrm dS$，受力为

$$
\mathrm d\mathbf F
=\sigma\mathrm dS,\mathbf E_{\rm other}
=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\mathrm dS,\hat{\mathbf n}.
$$

除以 $\mathrm dS$ 就得到电压力。排除自身场是关键，否则会错误地多算一倍或遇到表面场不连续的歧义。

应用：带电肥皂泡与液滴的稳定性

带电肥皂泡。 肥皂泡总能量 = 静电能 + 表面能（内、外两个表面）：

$$
U(a)=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a}+8\pi a^2\gamma.
$$

平衡条件 $\mathrm dU/\mathrm da=0$：

$$
-\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a^2}+16\pi a\gamma=0
;\Rightarrow;
a^3=\frac{Q^2}{128\pi^2\varepsilon_0\gamma}.
$$

二阶导数 $\mathrm d^2U/\mathrm da^2=Q^2/(4\pi\varepsilon_0a^3)+16\pi\gamma>0$，是稳定平衡。用压强语言等价于：电压力 $\sigma^2/(2\varepsilon_0)=Q^2/(32\pi^2\varepsilon_0a^4)$ 与双表面的 Laplace 压强 $4\gamma/a$ 平衡。

带电液滴（Rayleigh 极限）。 液滴只有一个表面，表面张力的平衡压强为 $2\gamma/a$。电压力超过它时没有平衡点：

$$
\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0a^4}>\frac{2\gamma}{a}
;\Rightarrow;
Q^2>64\pi^2\varepsilon_0\gamma a^3,
$$

液滴带电超过该阈值即自发分裂（Rayleigh 不稳定）。静电喷雾（喷墨打印、静电涂装、质谱电离源）正是人为让液滴带电逼近该阈值而雾化的应用。

11.4 经典模型：带电导体球两半球间的作用力

建模

半径 $a$、总电荷 $Q$ 的孤立导体球，电荷均匀分布在表面；求上下半球之间的分离力。表面

推导

$$
\sigma=\frac{Q}{4\pi a^2},\qquad
P=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0a^4}.
$$

求上下半球之间的分离力。上半球面积元受力的竖直分量为

$$
\mathrm dF_z=P\cos\theta,\mathrm dS,
\qquad
\mathrm dS=a^2\sin\theta,\mathrm d\theta\mathrm d\phi.
$$

积分：

$$
F_z=P a^2\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi
\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta,\mathrm d\theta
=P\pi a^2.
$$

所以

结论

$$
\boxed{F=\frac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0a^2}.}
$$

这里的核心不是逐对计算电荷斥力，而是先由局部场得到压力，再把压力矢量投影并积分。

投影积分为什么等于赤道截面积乘压力

对球面元，$\mathrm dS=a^2\sin\theta,\mathrm d\theta\mathrm d\phi$，法向与竖直方向夹角为 $\theta$。因此其水平投影面积为

$$
\mathrm dA_{\rm proj}=\cos\theta,\mathrm dS.
$$

整个上半球投影到赤道平面恰好是一张半径 $a$ 的圆盘：

$$
\int_{\rm hemisphere}\cos\theta,\mathrm dS=\pi a^2.
$$

因为球面电荷密度均匀，电压力 $P$ 也是常数，所以

$$
F_z=P\int\cos\theta,\mathrm dS=P\pi a^2.
$$

若表面电荷不均匀，$P=P(\theta,\phi)$ 不能移出积分号，就必须保留完整面积分。

讨论：虚功原理与压力积分的对应关系

孤立球的能量与电容给出另一种算法：$U=Q^2/(8\pi\varepsilon_0a)$，对应的广义力是

$$
F_a=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm da}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a^2}.
$$

这个 $F_a$ 不是半球间的分离力，而是“使半径均匀增加 $\mathrm da$”的广义力：膨胀时整个球面沿法向移动 $\mathrm da$，做功为

$$
\mathrm dW=P\cdot4\pi a^2,\mathrm da
=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}4\pi a^2,\mathrm da
=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0a^2},\mathrm da,
$$

与 $-\mathrm dU$ 一致。半球分离对应的是“沿赤道截面拉开”的另一种虚位移：截面面积恒为 $\pi a^2$，做功 $\mathrm dW’=P,\pi a^2,\mathrm dz$。同一个压力 $P$，不同的虚位移投影，给出不同的广义力——使用虚功原理时必须先说清所选的广义坐标，这正是 28 节虚功原理的完整讨论的前奏。

11.5 经典模型：两接地平板之间的点电荷

建模

令接地平板位于 $z=0$ 与 $z=d$，真实电荷 $q$ 位于 $z=z_0$，其中 $0<z_0<d$。为同时满足两板 $\varphi=0$，需要无限镜像序列：

推导

先只保留下板 $z=0$。将 $q$ 关于该平面反射，得到位于 $-z_0$ 的 $-q$，可使下板电势为零；但这组电荷在上板 $z=d$ 上的电势不为零。再把这两个电荷分别关于上板反射，得到位于 $2d-z_0$ 的 $-q$ 与位于 $2d+z_0$ 的 $+q$。新像电荷又会破坏下板条件，因此继续关于两板交替反射。

反射一次，坐标按 $z\mapsto-z$ 或 $z\mapsto2d-z$ 变化，同时电荷变号。反复作用后得到两组位置：

• 正像电荷 $+q$：$z=z_0+2nd$；
• 负像电荷 $-q$：$z=-z_0+2nd$；
• $n\in\mathbb Z$，其中真实电荷取正像序列的 $n=0$ 项。

板间电势为

结论

$$
\boxed{\varphi(\rho,z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
\left[
\frac1{\sqrt{\rho^2+(z-z_0-2nd)^2}}
-\frac1{\sqrt{\rho^2+(z+z_0-2nd)^2}}
\right].}
$$

把 $z=0$ 代入，每个 $n$ 项可与另一项配对抵消；$z=d$ 同理。真实电荷所受力等于所有镜像电荷在 $(0,z_0)$ 产生的场乘以 $q$，但计算时必须排除真实电荷自身那一项。

边界条件的逐项验证

记

$$
R_n^+(\rho,z)=\sqrt{\rho^2+(z-z_0-2nd)^2},
$$

$$
R_n^-(\rho,z)=\sqrt{\rho^2+(z+z_0-2nd)^2}.
$$

在下板 $z=0$：

$$
R_n^+(\rho,0)
=\sqrt{\rho^2+(z_0+2nd)^2},
$$

而把第二组指标换成 $-n$：

$$
R_{-n}^-(\rho,0)
=\sqrt{\rho^2+(z_0+2nd)^2}.
$$

所以正像序列的第 $n$ 项与负像序列的第 $-n$ 项抵消，$\varphi(\rho,0)=0$。

在上板 $z=d$，可类似地把指标作 $n\leftrightarrow1-n$ 配对，得到 $\varphi(\rho,d)=0$。由于板间除真实电荷处外满足 Laplace 方程，且两板边界势均正确，唯一性定理保证该无穷级数就是板间解。

若要求真实电荷所受 $z$ 向力，应对所有像电荷求和：

$$
F_z=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\sum_{\rm images}q_j
\frac{z_0-z_j}{|z_0-z_j|^3}.
$$

其中必须删去 $z_j=z_0,q_j=q$ 的真实电荷项。位于中面 $z_0=d/2$ 时，上下像序列成镜像对称，故 $F_z=0$；但稍微偏离中面会被较近板吸引，因此这是轴向不稳定平衡。

极限与稳定性讨论

单板极限。 令 $d\to\infty$，级数中只有 $n=0$ 的两项存活：

$$
\varphi=\frac q{4\pi\varepsilon_0}
\left(\frac1{\sqrt{\rho^2+(z-z_0)^2}}
-\frac1{\sqrt{\rho^2+(z+z_0)^2}}\right),
$$

恢复单接地平板的镜像解（22 节）。近板极限：$z_0\to0$ 时主导项来自 $n=0$ 的负像电荷，受力趋于 $q^2/(4\pi\varepsilon_0(2z_0)^2)$，与单板公式一致。

中面不稳定性的定量表述。 像电荷分布关于中面反对称，故 $F_z(z_0)$ 是 $z_0-d/2$ 的奇函数，在中面附近

$$
F_z\approx k\left(z_0-\frac d2\right),\qquad k>0,
$$

力与偏离量同号、总是指向较近的板——标准的“$z$ 方向负刚度”不稳定平衡。这正是 9.3 节 Earnshaw 定理“只有鞍点、没有稳定点”在一个可精确求解模型中的具体体现。

---

12. 孤立导体与电容器

12.1 电容的定义与本质

孤立导体相对于无穷远的电容定义为

推导

固定导体几何和线性介质。若表面电荷整体放大 $\lambda$ 倍，Poisson 方程及边界条件都是线性的，因此解出的电势也放大 $\lambda$ 倍：

$$
Q\mapsto\lambda Q\quad\Longrightarrow\quad V\mapsto\lambda V.
$$

所以比值 $Q/V$ 与所取电荷量无关，只由几何和介质决定。下面的等式是据此作出的定义，而不是由某个更基本的代数恒等式推出。

结论

$$
\boxed{C=\frac QV,}
$$

两导体电容器定义为 $C=Q/(V_1-V_2)$，其中两极板分别带 $+Q$ 和 $-Q$。在线性介质和固定几何下，电势与电荷成正比，因此 $C$ 只由几何、尺寸和介电常数决定，不由 $Q$ 或 $V$ 单独决定。

数值例：法拉是巨大的单位。 要用孤立导体球实现 $1$ F 的电容，半径需要

$$
R=\frac C{4\pi\varepsilon_0}
=\frac1{4\pi\times8.85\times10^{-12}}
\approx9\times10^9\ \mathrm m,
$$

约为太阳半径的十几倍。实用电容因此以 $\mu$F、pF 计量；连地球（$R\approx6370$ km）的孤立电容也只有

$$
C_{\rm Earth}=4\pi\varepsilon_0R\approx7\times10^{-4}\ \mathrm F.
$$

12.2 各种孤立导体的电容

建模

三类孤立导体：半径 $R$ 的球；半径 $R$ 的薄圆盘；半径 $a$、长度 $L\gg a$ 的细长圆柱。

孤立球，半径 $R$：

推导

$$
V=\int_R^\infty\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2},\mathrm dr
=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R},
$$

结论

$$
\boxed{C_{\rm sphere}=4\pi\varepsilon_0R.}
$$

孤立薄圆盘，半径 $R$： 精确结果为

推导

设圆盘位于 $z=0$。等势边界要求电荷在边缘聚集，满足该边值问题的面密度为

$$
\sigma(s)=\frac{Q}{2\pi R\sqrt{R^2-s^2}},\qquad 0\le s<R.
$$

先检查总电荷：

$$
\int_0^R\sigma(s)2\pi s,\mathrm ds
=\frac QR\int_0^R\frac{s,\mathrm ds}{\sqrt{R^2-s^2}}=Q.
$$

圆盘中心电势最容易计算。每个半径为 $s$、宽度为 $\mathrm ds$ 的环带到中心距离均为 $s$：

$$
\mathrm dV=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma(s)2\pi s,\mathrm ds}{s}
=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}\frac{\mathrm ds}{\sqrt{R^2-s^2}}.
$$

因此

$$
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}
\int_0^R\frac{\mathrm ds}{\sqrt{R^2-s^2}}
=\frac{Q}{8\varepsilon_0R}.
$$

这一 $\sigma(s)$ 产生的圆盘面内电势处处相同，故由 $C=Q/V$ 得到下式。

结论

$$
\boxed{C_{\rm disk}=8\varepsilon_0R.}
$$

圆盘边缘面电荷密度发散，因此不能把它当作均匀带电圆盘来计算电势。

细长孤立圆柱，半径 $a$、长度 $L\gg a$： 忽略端部细节时

推导

把细长圆柱近似成从 $z=-L/2$ 到 $L/2$、线密度 $\lambda=Q/L$ 的线电荷，但用横向距离 $a$ 截断轴线奇点。在圆柱中点表面：

$$
V\approx\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm dz}{\sqrt{z^2+a^2}}
=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}
\operatorname{arsinh}\frac{L}{2a}.
$$

当 $L\gg a$ 时，$\operatorname{arsinh}x\approx\ln(2x)$，这里 $x=L/(2a)$，因此

$$
C\approx\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(L/a)}.
$$

有限圆柱端部会把分母修改为 $\ln(L/a)+O(1)$；这个 $O(1)$ 常数依端帽形状和选取的等势面而变。因此不应在未指定端部几何时宣称对数内的常数是精确的。

结论

$$
\boxed{C\approx\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(L/a)+O(1)},
\qquad L\gg a.}
$$

只保留主导对数时可取 $C\approx2\pi\varepsilon_0L/\ln(L/a)$；它不是有限圆柱的严格解。

同半径比较：球与盘。 同半径 $R$ 的孤立球与薄圆盘电容之比为

$$
\frac{C_{\rm sphere}}{C_{\rm disk}}
=\frac{4\pi\varepsilon_0R}{8\varepsilon_0R}=\frac\pi2\approx1.57.
$$

球面总面积 $4\pi R^2$ 是圆盘两面总面积 $2\pi R^2$ 的两倍，电荷分布更分散、电势更低，储能本领更强。几何越“张开”（盘、针），电容越小——与 10.2 节“电荷趋于尖端集中”的边值效应一致。

12.3 球形电容器

建模

同心球半径为 $a<b$，其间充满介电常数 $\varepsilon$ 的介质，内外球带 $\pm Q$。在 $a<r<b$：

推导

$$
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}.
$$

电势差

$$
V_a-V_b=\int_a^bE(r),\mathrm dr
=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac1a-\frac1b\right).
$$

所以

结论

$$
\boxed{C=4\pi\varepsilon\frac{ab}{b-a}.}
$$

当 $b\to\infty$，退化为孤立球电容 $4\pi\varepsilon a$。

完整解题流程

Step 1：分区。 内导体 $r<a$ 与外导体材料内部 $r>b$ 都有 $E=0$；只有介质层 $a<r<b$ 储存电场能。

Step 2：在介质层选高斯球。 包围的自由电荷始终是内球的 $+Q$：

$$
E(r)4\pi r^2=\frac Q\varepsilon.
$$

Step 3：确定电势差的符号。 对 $Q>0$，电场从内球指向外球。内球电势更高：

$$
V_a-V_b=-\int_b^a\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=\int_a^bE(r),\mathrm dr.
$$

Step 4：积分。

$$
V_a-V_b
=\frac Q{4\pi\varepsilon}
\int_a^b r^{-2},\mathrm dr
=\frac Q{4\pi\varepsilon}
\left[-\frac1r\right]_a^b.
$$

所以

$$
V_a-V_b=\frac Q{4\pi\varepsilon}
\left(\frac1a-\frac1b\right).
$$

Step 5：由定义求电容。

$$
C=\frac Q{V_a-V_b}
=\frac{4\pi\varepsilon}{1/a-1/b}
=4\pi\varepsilon\frac{ab}{b-a}.
$$

Step 6：检查平行板极限。 若间距 $s=b-a\ll a$，则 $ab\approx a^2$：

$$
C\approx\frac{4\pi a^2\varepsilon}{s}
=\frac{\varepsilon A}{s},
$$

其中 $A=4\pi a^2$，恢复局部平行板公式。

12.4 圆柱形电容器

建模

同轴圆柱半径为 $a<b$、有效长度 $L$，其间充满介电常数 $\varepsilon$ 的介质，忽略边缘效应。设线电荷密度 $\lambda=Q/L$。由高斯定理

推导

$$
E(r)2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon}
\quad\Rightarrow\quad
E(r)=\frac\lambda{2\pi\varepsilon r}.
$$

电势差

$$
V_a-V_b=\int_a^b\frac\lambda{2\pi\varepsilon r},\mathrm dr
=\frac\lambda{2\pi\varepsilon}\ln\frac ba.
$$

故

结论

$$
\boxed{C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}.}
$$

完整解题流程与极限

Step 1：适用假设。 要求 $L\gg b$，所求区域远离两端，才能忽略边缘场并使用轴向平移对称性。

Step 2：取半径 $r$、长度 $\ell$ 的同轴高斯柱。 注意高斯柱长度 $\ell$ 可以与电容器总长 $L$ 区分：

$$
E(r)(2\pi r\ell)
=\frac{\lambda\ell}{\varepsilon}.
$$

约去任意的 $\ell$，得到 $E(r)=\lambda/(2\pi\varepsilon r)$。

Step 3：从外圆柱积分到内圆柱。

$$
V_a-V_b
=-\int_b^aE(r),\mathrm dr
=\frac\lambda{2\pi\varepsilon}
\int_a^b\frac{\mathrm dr}{r}.
$$

$$
V_a-V_b=\frac\lambda{2\pi\varepsilon}\ln\frac ba.
$$

Step 4：代入 $Q=\lambda L$。

$$
C=\frac Q{V_a-V_b}
=\frac{\lambda L}{[\lambda/(2\pi\varepsilon)]\ln(b/a)}.
$$

约去 $\lambda$，得到本节结果。

Step 5：薄间隙检查。 令 $b=a+s$ 且 $s\ll a$，则

$$
\ln\frac ba=\ln\left(1+\frac sa\right)\approx\frac sa.
$$

所以

$$
C\approx\frac{2\pi\varepsilon aL}{s}
=\frac{\varepsilon A}{s},
$$

其中 $A=2\pi aL$ 是内圆柱侧面积，再次恢复平行板公式。

讨论：外半径的收益递减。 $C\propto1/\ln(b/a)$：$b/a$ 从 2 增大到 1000（500 倍），电容只增大 $\ln1000/\ln2\approx10$ 倍。对数增长极其缓慢，因此同轴电缆外屏蔽层半径的选择主要出于机械强度与屏蔽要求，而不是增大电容。反过来，内导体的微小毛刺会显著改变局部 $\ln(b/a)$ 分布并造成局部场集中——同轴电缆的耐压由最窄处决定。

---

13. 导线接通、电容组合与电路转化

13.1 两带电导体用导线接通

建模

接通意味着电荷可以重新分配，最终满足共同电势，而不是“电荷一定平均分配”。若两个相距很远、互感可忽略的导体电容为 $C_1,C_2$，初始电荷为 $Q_1,Q_2$，接通后

推导

$$
V_f=\frac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2},
\qquad
Q_1’=C_1V_f,\quad Q_2’=C_2V_f.
$$

若初始电势不同，静电能减少：

$$
\Delta U=U_i-U_f
=\frac12\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}(V_1-V_2)^2.
$$

损失的能量在真实电路中转化为焦耳热和少量电磁辐射；不能只用理想零电阻导线而又忽略瞬态过程。

最终电势与能量损失的逐步计算

接通前

$$
Q_1=C_1V_1,\qquad Q_2=C_2V_2.
$$

接通后两导体等势为 $V_f$，因此

$$
Q_1’=C_1V_f,\qquad Q_2’=C_2V_f.
$$

整个系统与外界绝缘，总电荷守恒：

$$
Q_1’+Q_2’=Q_1+Q_2.
$$

代入：

$$
(C_1+C_2)V_f=C_1V_1+C_2V_2,
$$

$$
V_f=\frac{C_1V_1+C_2V_2}{C_1+C_2}
=\frac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}.
$$

初态与末态静电能分别为

$$
U_i=\frac12C_1V_1^2+\frac12C_2V_2^2,
$$

$$
U_f=\frac12(C_1+C_2)V_f^2.
$$

代入 $V_f$ 并通分：

$$
2(U_i-U_f)
=C_1V_1^2+C_2V_2^2
-\frac{(C_1V_1+C_2V_2)^2}{C_1+C_2}.
$$

分子展开并合并：

$$
2(U_i-U_f)
=\frac{C_1C_2(V_1-V_2)^2}{C_1+C_2}.
$$

所以

$$
U_i-U_f
=\frac12\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}(V_1-V_2)^2\ge0.
$$

只有初始电势已经相等时，才没有电荷流动和能量损失。

讨论：损失与导线电阻无关。 上面的 $\Delta U$ 不含任何电阻参数。对任意导线电阻 $R$，暂态电流满足 $I=I_0e^{-t/(RC)}$，积分 $\int I^2R,\mathrm dt$ 恰好等于 $\Delta U$——这是二电容问题的著名结论。物理原因是：电阻减小时电流峰值成比例增大，焦耳热极限值有限；$R\to0$ 的极限下损失改由电磁辐射承担。因此“理想导线 + 电容”的纯电容模型不能自洽地描述过程本身：要么保留电阻（焦耳热），要么保留电感与辐射（高频振荡），只比较初末态会漏掉过程。

13.2 并联

建模

各电容电势差相同，总电荷相加：

推导

第 $i$ 个电容器满足 $Q_i=C_iV$。并联元件连接在同一对节点，因此它们的 $V$ 相同；电源提供的总电荷由节点电荷守恒给出 $Q=\sum_iQ_i$。逐项代入：

结论

$$
Q=\sum_iQ_i=V\sum_iC_i
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{C_{\rm eq}=\sum_iC_i.}
$$

以两个电容为例，若共同电压为 $V$：

$$
Q_1=C_1V,\qquad Q_2=C_2V.
$$

电源端流出的总电荷是

$$
Q=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V.
$$

把整个组合从外部等效成 $Q=C_{\rm eq}V$，比较 $V$ 的系数即得 $C_{\rm eq}=C_1+C_2$。并联增加的是可容纳电荷的有效面积，因此等效电容增大。

13.3 串联

建模

中间孤立节点净电荷守恒，使每只电容器电荷大小相等；总电压相加：

推导

以两个电容为例，中间节点初始不带净电荷。一个极板若出现 $+Q$，同一节点的另一极板必须出现 $-Q$，所以两电容器电荷大小相同。各段电势差为 $V_i=Q/C_i$，沿整条支路相加即得 $V=\sum_iV_i$：

结论

$$
V=\sum_i\frac Q{C_i}
\quad\Rightarrow\quad
\boxed{\frac1{C_{\rm eq}}=\sum_i\frac1{C_i}.}
$$

识别串并联必须看节点：串联公共节点不能再接其他支路；并联元件必须共享同一对节点。

以两个电容为例：

$$
V=V_1+V_2
=\frac Q{C_1}+\frac Q{C_2}
=Q\left(\frac1{C_1}+\frac1{C_2}\right).
$$

外部等效定义为 $V=Q/C_{\rm eq}$，所以

$$
\frac1{C_{\rm eq}}
=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}.
$$

两边取倒数：

$$
C_{\rm eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}<\min(C_1,C_2).
$$

串联相当于增加总有效间距，因此电容比任一单个电容都小。

应用：电容分压器与耐压串联。 串联各段电压 $V_i=Q/C_i$，反比于电容：

$$
\frac{V_1}{V_2}=\frac{C_2}{C_1},
$$

小电容分得大电压。电容分压器即利用这一规律，配合高阻抗电压表测量高压。同理，单只电容耐压不足时可用串联提高整体耐压——工程上必须并接均压电阻平衡各电容的漏电流，否则直流下分压由漏电阻而非电容决定。

13.4 星形—三角形转化

建模

电容网络的节点方程形式与电导网络相同。把电容看成“节点耦合系数”，三角形 $C_{ab},C_{bc},C_{ca}$ 转为星形时，可先将阻抗规则应用于 $Z=1/(sC)$，再化简。由于该公式易因方向记忆出错，实际计算更推荐直接列各内部节点的电荷守恒方程并消元。

推导

令星形三支电容为 $C_a,C_b,C_c$，中心节点电势为 $V_o$。中心节点净电荷为零：

$$
C_a(V_o-V_a)+C_b(V_o-V_b)+C_c(V_o-V_c)=0.
$$

记 $S=C_a+C_b+C_c$，解得

$$
V_o=\frac{C_aV_a+C_bV_b+C_cV_c}{S}.
$$

端点 $a$ 的电荷为

$$
Q_a=C_a(V_a-V_o)
=\frac{C_aC_b}{S}(V_a-V_b)
+\frac{C_aC_c}{S}(V_a-V_c).
$$

与三角形网络

$$
Q_a=C_{ab}(V_a-V_b)+C_{ca}(V_a-V_c)
$$

逐项比较，得到

$$
C_{ab}=\frac{C_aC_b}{S},\qquad
C_{bc}=\frac{C_bC_c}{S},\qquad
C_{ca}=\frac{C_cC_a}{S}.
$$

结论

星形到三角形的电容变换就是上述三式；反变换可联立求解，而不应直接套用电阻网络中数值相同的公式，因为电容的节点系数对应导纳而非阻抗。

---

14. 普遍电容系统：电势系数与电容系数

设有 $N$ 个导体，以无穷远为零电势。线性静电学保证电势与电荷满足线性关系。

14.1 电势系数

$$
\boxed{V_i=\sum_{j=1}^NP_{ij}Q_j.}
$$

$P_{ij}$ 表示第 $j$ 个导体单位电荷对第 $i$ 个导体电势的贡献。静电互易性给出

推导

$$
P_{ij}=P_{ji}.
$$

线性关系和对称性的来源

先进行一个基准边值问题：只令第 $j$ 个导体带单位电荷，其余导体电荷为零，测得第 $i$ 个导体电势，定义为 $P_{ij}$。若第 $j$ 个导体实际带电 $Q_j$，由 Poisson 方程线性性，该贡献变为 $P_{ij}Q_j$。所有导体同时带电时用叠加原理：

$$
V_i=P_{i1}Q_1+P_{i2}Q_2+\cdots+P_{iN}Q_N.
$$

对称性来自 Green 互易定理。取两组电荷—电势解 $(\rho^{(1)},\varphi^{(1)})$ 与 $(\rho^{(2)},\varphi^{(2)})$：

$$
\int\rho^{(1)}\varphi^{(2)},\mathrm dV
=\int\rho^{(2)}\varphi^{(1)},\mathrm dV.
$$

第一组只令导体 $i$ 带单位电荷，第二组只令导体 $j$ 带单位电荷。左边就是第二组在导体 $i$ 的电势 $P_{ij}$，右边是第一组在导体 $j$ 的电势 $P_{ji}$，所以 $P_{ij}=P_{ji}$。

应用：接地屏蔽使互系数消失。 若在两个导体之间插入接地的封闭导体壳，壳内任一导体的电荷不再影响壳外导体的电势，对应的非对角电势系数变为零（或随壳的几何被完全阻断）。“屏蔽”在矩阵语言中就是把耦合系数压为零——法拉第笼（8.1 节）的普遍形式。电容矩阵的相应结构是块对角：壳内、壳外的导体各成一块。

14.2 电容系数

推导

把上一节线性关系写成 $\mathbf V=\mathbf P\mathbf Q$。对互相独立且参考电势已固定的导体系统，$\mathbf P$ 可逆。两边左乘 $\mathbf P^{-1}$：

$$
\mathbf Q=\mathbf P^{-1}\mathbf V.
$$

定义 $\mathbf C\equiv\mathbf P^{-1}$，逐分量展开即为下式。

结论

$$
\boxed{Q_i=\sum_{j=1}^NC_{ij}V_j,\qquad \mathbf C=\mathbf P^{-1}.}
$$

通常 $C_{ii}>0$，$C_{ij}<0\ (i\ne j)$。对角项描述自身电势升高所需电荷，非对角项描述其他导体电势对本导体电荷的感应作用。

系统能量可以写成三种等价形式：

结论

$$
\boxed{U=\frac12\sum_iQ_iV_i
=\frac12\mathbf Q^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf Q
=\frac12\mathbf V^{\mathsf T}\mathbf C\mathbf V.}
$$

两导体电容器的恢复： 若只有电势差 $V=V_1-V_2$ 且电荷为 $(Q,-Q)$，则上述矩阵关系退化为 $Q=CV$ 与 $U=Q^2/(2C)=CV^2/2$。

应用：单电子岛的总电容。 15 节的库仑阻塞模型需要小岛对环境中所有导体的总电容 $C_\Sigma$，其矩阵定义为

$$
C_\Sigma=\sum_j C_{ij},
$$

即电容矩阵第 $i$ 行的行和——把岛 $i$ 的电势升高 1 V（其余导体接地）时岛上需要增加的电荷。几何上它就是岛对周围所有电极（隧道结、栅极）电容的并联总和。

---

15. 电子隧穿与库仑阻塞

15.1 隧穿的概念

经典粒子能量低于势垒时不能穿过；量子波函数在有限势垒内指数衰减但通常不严格为零，因此存在非零透射概率。对宽度 $d$、高度 $U_0>E$ 的近似矩形势垒，WKB 结果为

推导

势垒内部定态 Schrödinger 方程为

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2\psi}{\mathrm dx^2}
+U_0\psi=E\psi.
$$

移项后

$$
\frac{\mathrm d^2\psi}{\mathrm dx^2}=\kappa^2\psi,
\qquad
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.
$$

因此势垒内波函数为指数形式 $\psi=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}$。穿过宽度 $d$ 后，振幅的主导衰减因子为 $e^{-\kappa d}$；概率流与振幅模平方成正比，所以透射率的指数主项为 $e^{-2\kappa d}$。边界匹配还会产生一个代数前因子，WKB 式只保留最重要的指数依赖：

结论

$$
\boxed{T\sim e^{-2\kappa d},\qquad
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}.}
$$

物理意义：隧穿对势垒宽度和高度极其敏感，这使纳米尺度绝缘层可以成为隧道结。

数值例：对厚度的敏感性。 取势垒高度 $U_0-E=1$ eV：

$$
\kappa=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}
\approx5.1\times10^{9}\ \mathrm{m^{-1}}
=5.1\ \mathrm{nm^{-1}},
$$

厚度每增加 0.1 nm，透射率乘以 $e^{-2\kappa d}=e^{-1.02}\approx0.36$（约降 3 倍）；势垒高 4 eV 时 $\kappa$ 加倍，每 0.1 nm 约降一个数量级。隧道结的绝缘层因此只需 1 nm 量级，且厚度起伏直接转化为电阻的指数级起伏——这是单电子器件工艺的核心难点。

15.2 单电子充电能

电容为 $C$ 的小导体岛带电 $Q=Ne$ 时，静电能

推导

$$
U(N)=\frac{N^2e^2}{2C}.
$$

再加入一个电子的能量代价为

$$
\Delta U=U(N+1)-U(N)
=\frac{(2N+1)e^2}{2C}.
$$

其基本能标是

结论

$$
\boxed{E_C=\frac{e^2}{2C}.}
$$

当导体岛很小，$C$ 很小，单个电子引起的电势变化 $e/C$ 不可忽略。

为什么充电能是 $Q^2/(2C)$

当岛上已经有电荷 $q$ 时，其电势为 $V(q)=q/C$。再从电源缓慢搬入微量电荷 $\mathrm dq$，外界做功

$$
\mathrm dU=V(q),\mathrm dq=\frac qC,\mathrm dq.
$$

从空岛充到 $Q=Ne$：

$$
U(N)=\int_0^{Ne}\frac qC,\mathrm dq
=\left.\frac{q^2}{2C}\right|_0^{Ne}
=\frac{N^2e^2}{2C}.
$$

增加第 $N+1$ 个电子不是简单付出固定的 $E_C$，而是

$$
\Delta U_N
=\frac{(N+1)^2e^2-N^2e^2}{2C}
=\frac{(2N+1)e^2}{2C}.
$$

$E_C=e^2/(2C)$ 是描述单电子效应的基本尺度；具体阈值还会受栅极诱导电荷和两侧电压影响。

15.3 库仑阻塞出现的条件

要观察离散单电子充电，通常需要

推导

$$
k_BT\ll E_C,
$$

使热涨落不足以随机加电子；同时隧道结电阻需足够大，典型要求

$$
R_T\gg R_K=\frac{h}{e^2},
$$

以抑制电荷数的强量子涨落。在低偏压下，若电源提供的能量不足以支付充电能，隧穿被阻止，电流近似为零；偏压超过阈值后，电子可逐个通过，形成库仑阶梯。

这把宏观电容概念推进到介观尺度：电容仍控制静电能，但电荷的量子化 $Q=Ne$ 不能再忽略。

阈值条件的简化模型

先考虑一个总电容为 $C_\Sigma$ 的孤岛，不加栅极，初始 $N=0$。加入第一个电子需要充电能

$$
\Delta U=\frac{e^2}{2C_\Sigma}.
$$

若外加偏压能提供的能量尺度 $eV$ 小于该值，顺向隧穿会增加系统总自由能，因此过程被抑制：

$$
eV\lesssim\frac{e^2}{2C_\Sigma}.
$$

由此得到量级阈值

$$
V_{\rm th}\sim\frac e{2C_\Sigma}.
$$

真实双结器件中电压在两个结之间如何分配取决于 $C_1,C_2,C_g$，阈值必须逐个隧穿过程计算自由能变化；上式只是展示阻塞的能量判据。

热涨落能量约为 $k_BT$。若 $k_BT$ 与 $E_C$ 同量级，电子可热激发越过充电能垒，所以需要 $k_BT\ll E_C$。另一方面，若结电阻太小，能量—时间不确定性导致电荷态展宽并强烈混合；$R_T\gg h/e^2$ 用来保证岛上电子数仍是良好近似量子数。

数值例与器件意义。 量子电阻 $R_K=h/e^2\approx25.8$ k$\Omega$。岛电容 $C_\Sigma=1$ fF 时

$$
E_C=\frac{e^2}{2C_\Sigma}\approx80\ \mu\mathrm{eV},
\qquad
\frac{E_C}{k_B}\approx0.9\ \mathrm K,
$$

阈值电压 $V_{\rm th}\sim e/(2C_\Sigma)\approx80\ \mu$V。要满足 $k_BT\ll E_C$，工作温度必须远低于 1 K（或把岛缩小到 aF 量级）。偏压超过阈值后电流随电压呈阶梯状上升——每放行一个电子出现一个台阶，台阶间隔约 $e/C_\Sigma$（库仑阶梯）。单电子晶体管、单电子泵与用电荷量子化定义电流标准的计量实验都建立在这一机制上。

---

第三章 电介质

16. 电介质的极化机制

16.1 极化的定义

电介质中没有像金属那样能在宏观尺度自由运动的载流子，但外电场会使正、负束缚电荷的平均位置发生相对改变，或者使原有分子电偶极矩趋向排列。这个过程称为极化。极化是对上述微观响应的定义；16.2 用受迫位移模型推出诱导偶极矩，16.3 用玻尔兹曼统计推出永久偶极矩的平均取向，为这个定义提供可计算的微观模型。

极化机制的谱系。 按响应载流子与时间尺度分类：

• 电子位移极化：电子云相对原子核位移，特征响应时间 $10^{-15}$ s（光学频率）；
• 离子位移极化：正负离子相对位移，$10^{-12}\sim10^{-13}$ s（红外）；
• 取向极化：永久偶极分子转动，$10^{-9}\sim10^{-6}$ s（微波至射频）；
• 空间电荷极化：可动离子在界面/缺陷处聚集，$10^{-3}$ s 以上。

频率越高的场越“来不及”调动慢机制，因此介质在高频下的介电常数系统性偏低——电容测量（低频）与微波波段的差别即由此而来。16.2 与 16.3 分别给出电子与取向机制的可计算模型。

16.2 电子位移极化

建模

把一个非极性原子简化为：带电 $+Ze$ 的原子核位于中心，电子云总电荷为 $-Ze$。外电场使两者中心相对位移 $x$。在小位移近似下，电子云对原子核的恢复力写成

推导

$$
F_r=-kx.
$$

静态平衡时，外场力与恢复力抵消：

$$
ZeE-kx=0.
$$

因此

$$
x=\frac{Ze}{k}E.
$$

原子的诱导偶极矩为

$$
p=Ze x=\frac{Z^2e^2}{k}E.
$$

定义电子极化率 $\alpha_e$：

结论

$$
\boxed{\mathbf p=\alpha_e\mathbf E_{\rm loc},\qquad
\alpha_e=\frac{Z^2e^2}{k}.}
$$

$\mathbf E_{\rm loc}$ 是原子实际感受到的局域场，不一定严格等于宏观平均场 $\mathbf E$。电子位移极化不要求分子原先具有永久偶极矩，且在不接近共振的静态情形下对温度通常不敏感。

均匀电子云模型中恢复系数的计算

把电子云进一步近似为半径 $a_0$、总电荷 $-Ze$ 的均匀带电球，原子核视为点电荷 $+Ze$。当核相对电子云中心偏移 $x<a_0$ 时，均匀带电球内部场为

$$
\mathbf E_{\rm cloud}=\frac{\rho_e}{3\varepsilon_0}\mathbf x,
\qquad
\rho_e=\frac{-Ze}{(4/3)\pi a_0^3}.
$$

代入密度：

$$
\mathbf E_{\rm cloud}
=-\frac{Ze}{4\pi\varepsilon_0a_0^3}\mathbf x.
$$

核受到恢复力

$$
\mathbf F_r=Ze\mathbf E_{\rm cloud}
=-\frac{Z^2e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0^3}\mathbf x.
$$

与 $\mathbf F_r=-k\mathbf x$ 比较：

$$
k=\frac{Z^2e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0^3}.
$$

于是简单模型给出

$$
\alpha_e=\frac{Z^2e^2}{k}=4\pi\varepsilon_0a_0^3.
$$

所以电子极化率的量级与原子体积成正比；真实电子云不是均匀球，数值系数会由量子结构修正。

数值例与量子修正。 氢原子 $a_0\approx0.053$ nm，均匀云模型给出 $\alpha_e=4\pi\varepsilon_0a_0^3$。氢原子基态极化率的精确量子力学结果为

$$
\alpha_e=\frac92\cdot4\pi\varepsilon_0a_0^3,
$$

均匀云模型低估了 $4.5$ 倍——真实电子云比均匀球“更软”，外场诱导的形变更大。数值系数必须由量子力学给出，但“原子体积 $\times,\varepsilon_0$”的尺度是普遍正确的。

谐振频率。 电子云模型是谐振子，固有频率

$$
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m_e}}
=\sqrt{\frac{Z^2e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0^3m_e}}.
$$

对氢原子 $Z=1$：$\omega_0\approx4.1\times10^{16}$ rad/s，落在远紫外（波长约 45 nm）。外场频率接近 $\omega_0$ 时极化率共振增强（色散），远离共振时 $\alpha_e$ 近似与频率、温度无关——这就是电子位移极化对温度不敏感的动力学原因。

16.3 取向极化

建模

极性分子具有永久偶极矩 $\mathbf p_0$。均匀电场中其势能为

推导

$$
U(\theta)=-p_0E\cos\theta.
$$

若只考虑热平衡，各取向出现的概率服从玻尔兹曼分布：

$$
f(\theta)\propto e^{p_0E\cos\theta/(k_BT)}.
$$

令 $x=p_0E/(k_BT)$，沿电场方向的平均偶极矩为

$$
\langle p_z\rangle
=p_0\frac{\int_0^\pi\cos\theta,e^{x\cos\theta}\sin\theta,\mathrm d\theta}
{\int_0^\pi e^{x\cos\theta}\sin\theta,\mathrm d\theta}
=p_0\left(\coth x-\frac1x\right).
$$

括号中的函数称为 Langevin 函数 $L(x)$。弱场或高温下 $x\ll1$，$L(x)\approx x/3$，所以

结论

$$
\boxed{\langle p_z\rangle\approx\frac{p_0^2}{3k_BT}E.}
$$

这说明取向极化随温度升高而减弱，因为热运动会破坏偶极子的定向排列。

角度平均积分的详细计算

取电场沿 $z$ 轴。方位角 $\phi$ 不影响能量，角度配分积分为

$$
Z_\Omega=\int_0^{2\pi}\mathrm d\phi
\int_0^\pi e^{x\cos\theta}\sin\theta,\mathrm d\theta.
$$

令 $u=\cos\theta$：

$$
Z_\Omega=2\pi\int_{-1}^{1}e^{xu},\mathrm du
=4\pi\frac{\sinh x}{x}.
$$

平均方向余弦可以对 $x$ 求导：

$$
\langle\cos\theta\rangle
=\frac1{Z_\Omega}\frac{\partial Z_\Omega}{\partial x}
=\frac{\partial}{\partial x}\ln\frac{\sinh x}{x}
=\coth x-\frac1x.
$$

弱场时

$$
\coth x=\frac1x+\frac x3-\frac{x^3}{45}+\cdots,
$$

所以 $L(x)=x/3+O(x^3)$，代回 $x=p_0E/(k_BT)$ 即得弱场结论。

饱和与数值例。 强场低温极限 $x\to\infty$ 时 $L(x)\to1$：所有偶极子完全沿场排列，$\langle p_z\rangle\to p_0$，取向极化饱和。室温下水分子 $p_0\approx6.2\times10^{-30}$ C·m，进入饱和区（$x\sim1$）所需场强

$$
E\sim\frac{k_BT}{p_0}
\approx\frac{1.38\times10^{-23}\times300}{6.2\times10^{-30}}
\approx6.7\times10^{8}\ \mathrm{V/m},
$$

远超空气击穿场强（$3\times10^6$ V/m）。因此实验室可达的场强范围内取向极化几乎总在线性区；线性近似的相对误差为 $x^2/15$，对 $E=10^6$ V/m 的水分子约 $10^{-6}$ 量级，弱场公式足够精确。

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17. 极化强度矢量与极化电荷

17.1 极化强度矢量

极化强度定义为单位体积内的电偶极矩矢量和。

推导

取一个尺度满足“远大于分子、远小于宏观变化尺度”的体元 $\Delta V$。体元总偶极矩具有可加性，记为 $\Delta\mathbf p=\sum_i\mathbf p_i$。为了得到与体元大小无关的局域强度，除以 $\Delta V$ 并取连续介质极限。这是宏观平均量的定义性构造：

结论

$$
\boxed{\mathbf P(\mathbf r)=\lim_{\Delta V\to0}
\frac{\sum_{i\in\Delta V}\mathbf p_i}{\Delta V}.}
$$

单位为 $\mathrm{C/m^2}$。它既包含单个分子的偶极矩大小，也包含取向的统计平均。

均匀、线性、各向同性电介质中通常写成

推导

弱场下把 $\mathbf P$ 对 $\mathbf E$ 在 $\mathbf E=0$ 附近作展开。无自发极化时常数项为零；线性项写成 $P_i=\varepsilon_0\chi_{ij}E_j$。各向同性使二阶张量只能取 $\chi_{ij}=\chi_e\delta_{ij}$，于是得到：

结论

$$
\boxed{\mathbf P=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E,}
$$

其中 $\chi_e$ 是电极化率。若材料是非线性、各向异性或具有自发极化，$\mathbf P$ 与 $\mathbf E$ 不一定满足这一简单标量比例关系。

应用：微观模型的宏观连接（Debye–Langevin 公式）。 若单位体积有 $n$ 个永久偶极分子，宏观极化强度就是微观统计平均的放大：

$$
\mathbf P=n\langle\mathbf p\rangle
=n\frac{p_0^2}{3k_BT}\mathbf E
=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E,
$$

因此纯取向机制给出的电极化率为

$$
\boxed{\chi_e=\frac{np_0^2}{3\varepsilon_0k_BT}.}
$$

取向极化率反比于温度（Curie 定律）。测量 $\varepsilon_r$ 随温度的变化、扣除电子极化贡献后，即可反推分子偶极矩 $p_0$——这是历史上有名的气体偶极矩测量方法（Debye 1912）。电子位移与取向两种机制并存时，$\chi_e$ 是两者之和：电子项近似不随温度变化，取向项 $\propto1/T$。

17.2 从偶极子电势推导束缚电荷

建模

体元 $\mathrm dV’$ 的偶极矩为 $\mathbf P(\mathbf r’)\mathrm dV’$，产生的电势为

推导

$$
\mathrm d\varphi=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\mathbf P(\mathbf r’)\cdot\nabla’\frac1{|\mathbf r-\mathbf r’|},\mathrm dV’.
$$

注意 $\nabla’$ 是对源点坐标求导：$\nabla’(1/|\mathbf r-\mathbf r’|)=(\mathbf r-\mathbf r’)/|\mathbf r-\mathbf r’|^3$，与场点梯度 $\nabla(1/R)=-\hat{\mathbf R}/R^2$ 差一个负号。偶极电势 $\varphi=\mathbf p\cdot(\mathbf r-\mathbf r’)/(4\pi\varepsilon_0R^3)$ 的符号即由此而来，抄公式时先确认对哪个坐标求导。

对整个介质积分，并使用乘积求导

$$
\mathbf P\cdot\nabla’\frac1R
=\nabla’\cdot\left(\frac{\mathbf P}{R}\right)
-\frac{\nabla’\cdot\mathbf P}{R},
$$

再对第一项使用散度定理：

$$
\varphi(\mathbf r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\left[
\oint_S\frac{\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}}R,\mathrm dS’
+\int_V\frac{-\nabla’\cdot\mathbf P}{R},\mathrm dV’
\right].
$$

它与普通面电荷和体电荷的电势形式完全相同，因此定义

结论

$$
\boxed{\sigma_b=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n},\qquad
\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P.}
$$

这里的 $b$ 表示 bound，即束缚电荷。均匀极化区域内部 $\nabla\cdot\mathbf P=0$，但边界上仍可有 $\sigma_b$；极化不均匀时，内部会出现体束缚电荷。

一维偶极链模型的直观核对

设截面积 $A$ 的介质棒沿 $x$ 方向极化。把长度 $\Delta x$ 的体元等效为相距 $\Delta x$ 的 $-q$ 与 $+q$：

$$
q\Delta x=P(A\Delta x)
\quad\Rightarrow\quad q=PA.
$$

均匀极化时，相邻体元接触面上的 $+PA$ 和 $-PA$ 抵消，只在整根棒两端留下电荷。除以端面积后得到 $\sigma_b=\pm P=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}$。

若 $P=P(x)$，相邻体元不完全抵消。长度 $\Delta x$ 内净电荷为

$$
\Delta q_b\approx-A\frac{\mathrm dP}{\mathrm dx}\Delta x.
$$

除以体积 $A\Delta x$：

$$
\rho_b=-\frac{\mathrm dP}{\mathrm dx},
$$

它正是 $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P$ 的一维形式。

17.3 束缚电荷的总量

对一个完整有限介质体：

推导

$$
Q_b=\int_V\rho_b,\mathrm dV+\oint_S\sigma_b,\mathrm dS.
$$

代入定义并使用散度定理：

$$
Q_b=-\int_V\nabla\cdot\mathbf P,\mathrm dV
+\oint_S\mathbf P\cdot\mathrm d\mathbf S=0.
$$

因此极化只能分离原有正负束缚电荷，不能改变介质整体的净束缚电荷。

应用：为什么介质块不显带电。 均匀极化棒的束缚电荷集中在两端，但从外部看总电荷仍为零——极化只是把内部的电中性局部化破坏。与此对比，自由电荷可以整体注入或抽走（摩擦起电、电源充电）。区分“极化产生的表观电荷”与“真正输运的自由电荷”是电介质问题的第一道关卡；19.1 节引入 $\mathbf D$ 正是为了把这两种电荷分开记账。

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18. 均匀极化球体与退极化场

半径为 $R$ 的球体具有均匀极化强度 $\mathbf P=P\hat{\mathbf z}$。

由于 $\mathbf P$ 为常矢量，球内

$$
\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P=0.
$$

球面外法向为 $\hat{\mathbf r}$，故

$$
\boxed{\sigma_b=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf r}=P\cos\theta.}
$$

北半球为正束缚电荷，南半球为负束缚电荷。整个球的偶极矩为

$$
\boxed{\mathbf p=\mathbf P,\frac{4\pi R^3}{3}.}
$$

因为 $\mathbf P$ 已定义为单位体积偶极矩且球内处处相同，故

$$
\mathbf p_{\rm total}=\int_V\mathbf P,\mathrm dV
=\mathbf P\int_V\mathrm dV
=\mathbf P\frac{4\pi R^3}{3}.
$$

18.1 从边界条件求电势

建模

轴对称且没有自由电荷。球内电势必须在 $r=0$ 有限，球外电势必须在无穷远消失，因此取

推导

$$
\varphi_{\rm in}=Ar\cos\theta,
\qquad
\varphi_{\rm out}=\frac{B\cos\theta}{r^2}.
$$

在 $r=R$ 处电势连续：

$$
AR=\frac{B}{R^2}\quad\Rightarrow\quad B=AR^3.
$$

法向电场的跳变由表面总电荷给出：

$$
E_{r,\rm out}-E_{r,\rm in}=\frac{P\cos\theta}{\varepsilon_0}.
$$

由 $E_r=-\partial\varphi/\partial r$ 得

$$
\frac{2B}{R^3}\cos\theta+A\cos\theta
=\frac{P\cos\theta}{\varepsilon_0}.
$$

代入 $B=AR^3$：

$$
3A=\frac P{\varepsilon_0},\qquad A=\frac P{3\varepsilon_0}.
$$

所以球内电场为

结论

$$
\boxed{\mathbf E_{\rm dep}=-\nabla\varphi_{\rm in}
=-\frac{\mathbf P}{3\varepsilon_0}.}
$$

它与 $\mathbf P$ 反向，称为退极化场。球外电势等于球心处偶极矩 $\mathbf p=(4\pi R^3/3)\mathbf P$ 的偶极电势。

应用：介质球置于均匀外场中

建模：半径 $a$、介电常数 $\varepsilon$ 的介质球放入均匀外场 $\mathbf E_0$。球内总场 = 外场 + 退极化场：

$$
\mathbf E_{\rm in}=\mathbf E_0-\frac{\mathbf P}{3\varepsilon_0}.
$$

推导：线性介质中 $\mathbf P=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E_{\rm in}$，联立求解：

$$
\mathbf E_{\rm in}=\frac{\mathbf E_0}{1+\chi_e/3}
=\boxed{\frac{3}{\varepsilon_r+2}\mathbf E_0,}
$$

$$
\mathbf P=\frac{3\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)}{\varepsilon_r+2}\mathbf E_0.
$$

结论：球内电场被退极化场压低，球外电势等于外场势加感应偶极势，感应偶极矩为

$$
\mathbf p=4\pi a^3\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2}\varepsilon_0\mathbf E_0,
$$

这正是 11.2 节引用的介质球极化率公式。$\varepsilon_r\to\infty$（导体）时 $\mathbf E_{\rm in}\to0$、$\mathbf p\to4\pi\varepsilon_0a^3\mathbf E_0$，恢复导体球结果——导体是 $\varepsilon_r=\infty$ 的极限介质；表面束缚电荷 $\sigma_b=P\cos\theta$ 与导体球 $\sigma_f=3\varepsilon_0E_0\cos\theta$ 只差系数，机理完全相同（面电荷抵消内部场）。

18.2 一般椭球体的退极化因子

建模

均匀极化椭球体内部的退极化场仍是均匀的。在主轴方向可写成

推导

$$
E_{{\rm dep},i}=-\frac{N_iP_i}{\varepsilon_0},
\qquad N_x+N_y+N_z=1.
$$

球体有 $N_x=N_y=N_z=1/3$；长针沿长轴的 $N$ 很小，薄片沿法线的 $N$ 接近 1。这说明退极化场不仅取决于材料，也强烈依赖样品形状。

可由对称性推出的特殊值。 三个主轴因子满足 $N_x+N_y+N_z=1$，且旋转对称使各向相等的因子相等（一般椭球体的严格求值需在椭球坐标中解 Laplace 方程）：

• 球：$N=1/3$（18.1 节已严格推出）；
• 无限长圆柱（横向极化）：长轴方向 $N_\parallel=0$，两个横向因子相等，故 $N_\perp=1/2$；
• 无限薄板：法向 $N_\perp=1$（退极化场完全抵消极化场），面内 $N=0$。

应用：沿长轴极化的细长针几乎没有退极化场，沿法线极化的薄片几乎被完全退极化。铁电体的畴结构与传感器设计都依赖这一形状效应：长针形样品沿长轴最容易保持极化，薄片法向极化则需要最大的外场支持。

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19. 电位移矢量与电介质中的基本定理

19.1 为什么引入 $\mathbf D$

真空形式的高斯定理包含全部电荷：

推导

$$
\nabla\cdot\mathbf E
=\frac{\rho_f+\rho_b}{\varepsilon_0}.
$$

利用 $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P$：

$$
\nabla\cdot(\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P)=\rho_f.
$$

定义电位移矢量

结论

$$
\boxed{\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P.}
$$

于是

结论

$$
\boxed{\nabla\cdot\mathbf D=\rho_f,
\qquad
\oint_S\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf S=Q_{f,\rm in}.}
$$

$\mathbf D$ 的高斯定理只显式计入自由电荷，把介质极化的复杂性收进 $\mathbf P$。但 $\mathbf D$ 是辅助场，不应被理解成“只由自由电荷产生的真实电场”。

在线性、各向同性介质中

$$
\mathbf D=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf E
=\varepsilon\mathbf E,
\qquad \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0.
$$

从闭合面通量重新推导 $\mathbf D$

任意闭合面满足

$$
\varepsilon_0\oint_S\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S
=Q_f+Q_b.
$$

由束缚电荷公式，闭合体内全部束缚电荷为

$$
Q_b=-\oint_S\mathbf P\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

代入并移项：

$$
\oint_S(\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P)
\cdot\mathrm d\mathbf S=Q_f.
$$

为了把左边记成一个场的通量，定义

$$
\mathbf D\equiv\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P.
$$

所以 $\mathbf D$ 不是额外的相互作用，而是把束缚电荷从源项中移走后的记账方式。

应用：高对称介质问题中的 D

点电荷埋于无限均匀介质。 球对称下 $\mathbf D$ 只依赖 $r$，对半径 $r$ 的高斯球面：

$$
D(r)4\pi r^2=Q_f
;\Rightarrow;
D=\frac{Q_f}{4\pi r^2},
\qquad
E=\frac{Q_f}{4\pi\varepsilon r^2}.
$$

$\mathbf D$ 与介质无关，$\mathbf E$ 被介电常数压低 $\varepsilon_r$ 倍：束缚电荷在点电荷周围形成反向屏蔽层，等效于在源处叠加电荷 $-Q_f(1-1/\varepsilon_r)$。

平行板电容器充满介质。 高斯面内自由电荷 $\sigma_fA$ 给出 $D=\sigma_f$（与介质无关），$E=\sigma_f/\varepsilon$，电容 $C=\varepsilon A/d=\varepsilon_rC_0$——填充介质使电容放大 $\varepsilon_r$ 倍，机理正是 18.1 节表面束缚电荷的退极化抵消。这就是第 12 章各公式中 $\varepsilon_0\to\varepsilon$ 替换的物理来源。

19.2 $\mathbf D$ 是否满足环路定理

静电场总有

推导

$$
\nabla\times\mathbf E=0.
$$

但

$$
\nabla\times\mathbf D
=\varepsilon_0\nabla\times\mathbf E+\nabla\times\mathbf P
=\nabla\times\mathbf P.
$$

因此一般情况下

结论

$$
\boxed{\oint_C\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf l
=\int_S(\nabla\times\mathbf P)\cdot\mathrm d\mathbf S,}
$$

并不必然为零。只有在下列常见条件下，$\mathbf D$ 才满足零环量：

1. $\nabla\times\mathbf P=0$；
2. 区域内为均匀线性各向同性介质，$\varepsilon$ 是常数，此时 $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$；
3. 所选闭合路径与跨越的界面没有引入使 $\varepsilon$ 分段变化的额外贡献。

例如分层介质中即使每层内部 $\nabla\times\mathbf D=0$，跨越界面的闭合路径也可能有非零 $\oint\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf l$。所以不能仿照电势写出全局的“$\mathbf D=-\nabla$ 某个标势”，除非先验证上述条件。

分层介质的直接反例

取跨越界面的窄矩形回路，上下长边长度都是 $\ell$，且沿界面切向。短边高度趋于零时，它们的积分贡献消失：

$$
\oint_C\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf l
=(D_{2t}-D_{1t})\ell.
$$

静电边界条件给出 $E_{2t}=E_{1t}=E_t$。在线性介质中 $D_t=\varepsilon E_t$，所以

$$
\oint_C\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf l
=(\varepsilon_2-\varepsilon_1)E_t\ell.
$$

只要 $\varepsilon_1\ne\varepsilon_2$ 且 $E_t\ne0$，这个环量就不为零。

讨论：引入 $\mathbf D$ 的代价是失去保守性。 $\mathbf D$ 的好处是散度方程只显式含自由电荷；代价是它的旋度一般不为零，不能再定义“$\mathbf D$ 的势”。因此：凡需要“源简单”的问题（高对称求场、电容计算）用 $\mathbf D$；凡需要“可写势函数”的问题（边值问题、叠加原理）仍以 $\varphi$ 与 $\mathbf E$ 为基本量。两者是同一套电磁学的两种记账法，不应把 $\mathbf D$ 当成“只由自由电荷产生的真实场”。

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20. 电介质界面的边值关系与折射定理

设介质 1 到介质 2 的单位法向为 $\hat{\mathbf n}$，界面自由面电荷密度为 $\sigma_f$。

20.1 法向分量

建模

取跨越界面的薄高斯柱面。侧面通量在高度趋于零时消失：

推导

$$
(\mathbf D_2-\mathbf D_1)\cdot\hat{\mathbf n}=\sigma_f.
$$

即

结论

$$
\boxed{D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f.}
$$

若界面没有自由电荷，$D_n$ 连续。对于线性各向同性介质：

$$
\varepsilon_2E_{2n}-\varepsilon_1E_{1n}=\sigma_f.
$$

因此即使 $\sigma_f=0$，只要 $\varepsilon_1\ne\varepsilon_2$，$E_n$ 一般也不连续。

由 $\mathbf P=\mathbf D-\varepsilon_0\mathbf E$ 还可读出界面束缚面电荷：把两侧关系相减得

$$
\sigma_b=P_{1n}-P_{2n},
$$

即两侧极化法向分量的差。介质分界处束缚电荷的存在正是法向场被压低的直接原因（19.1 节的应用已用到这一点）。

高斯药盒的极限过程

取底面积 $A$、高度 $2h$ 的药盒，法线从介质 1 指向介质 2。上底通量为 $D_{2n}A$；下底外法向相反，通量为 $-D_{1n}A$。侧面通量随 $h\to0$ 消失：

$$
\oint\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf S
=(D_{2n}-D_{1n})A+O(h).
$$

药盒包围自由电荷 $\sigma_fA$。令 $h\to0$ 并约去 $A$，得到 $D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f$。

20.2 切向分量

建模

取跨越界面的极窄矩形回路。由静电场环路定理：

推导

$$
(\mathbf E_2-\mathbf E_1)\times\hat{\mathbf n}=0.
$$

即

结论

$$
\boxed{\mathbf E_{2t}=\mathbf E_{1t}.}
$$

而 $\mathbf D_t=\varepsilon\mathbf E_t$，所以介电常数改变时 $D_t$ 一般不连续。

窄矩形回路的极限过程

设两条长边长度为 $\ell$，短边高度为 $2h$。沿介质 2 长边的积分为 $E_{2t}\ell$；沿介质 1 反向返回，贡献为 $-E_{1t}\ell$：

$$
\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=(E_{2t}-E_{1t})\ell+O(h).
$$

静电场环量为零。令 $h\to0$，因 $\ell\ne0$，得到 $E_{2t}=E_{1t}$。

20.3 电场线的折射定理

建模

令 $\theta_1,\theta_2$ 分别是 $\mathbf E_1,\mathbf E_2$ 与界面法线的夹角。若 $\sigma_f=0$，则

推导

$$
E_{1t}=E_{2t},
\qquad
\varepsilon_1E_{1n}=\varepsilon_2E_{2n}.
$$

由 $\tan\theta=E_t/E_n$：

结论

$$
\boxed{\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}
=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}.}
$$

电场线进入介电常数更大的介质时更偏离法线。这个“折射”来自边界条件，不是光的 Snell 定律，两者的函数形式不同。

从公式判断偏折方向

若 $\varepsilon_2>\varepsilon_1$，则

$$
\tan\theta_2
=\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}\tan\theta_1

\tan\theta_1.
$$

因为这里角度相对法线测量且 $0<\theta<\pi/2$，所以 $\theta_2>\theta_1$，即进入高介电常数介质后更偏离法线。若题目改为相对界面测角，表述会相反，必须先看清角度定义。

应用：场线在界面处的极端偏折

数值例。 电场线从空气（$\varepsilon_{r1}=1$）以 $\theta_1=45°$ 进入水（$\varepsilon_{r2}=80$）：

$$
\tan\theta_2=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\tan\theta_1
=\frac1{80}
;\Rightarrow;
\theta_2\approx0.7°,
$$

场线几乎贴着界面；反向从水以 $45°$ 进入空气时 $\tan\theta_2=80$，$\theta_2\approx89.3°$，几乎垂直于界面。

与光的对比。 光从空气进入水（$n=1.33$）按 Snell 定律 $\sin\theta_2=\sin\theta_1/n$ 得 $\theta_2\approx32°$——光在光密介质中靠近法线，电场线在高 $\varepsilon$ 介质中却偏离法线，方向相反、函数形式也不同（$\tan$ 与 $\sin$）。两者不可类比。

物理解释。 法向分量被束缚面电荷屏蔽（$E_{2n}=E_{1n}/\varepsilon_r$），切向分量不受影响（$E_{2t}=E_{1t}$）。高 $\varepsilon$ 介质“排斥”法向分量，场线被压向界面。这也解释了高 $\varepsilon$ 薄层对法向场的屏蔽作用（电缆接头应力锥的原理），以及多层介质电容器中各层承担电压反比于其 $\varepsilon$（由 $E_i=D/\varepsilon_i$ 直接得出）。

---

第四章 电像法

21. 电像法的逻辑基础

电像法不是说导体内部真的存在像电荷，而是在需要求解的区域之外放置虚构电荷，使其势函数满足原问题的边界条件。根据静电唯一性定理，只要满足：

1. 求解区域内满足 Poisson 或 Laplace 方程；
2. 导体表面的电势边界条件正确；
3. 无穷远条件正确；

构造出的势就是求解区域内唯一的真实势。

求导体表面感应电荷时用

$$
\sigma=-\varepsilon_0\left.\frac{\partial\varphi}{\partial n}\right|_{\rm outside}.
$$

求真实电荷受力时，可以让真实电荷受到像电荷的库仑力；求能量时则必须使用

$$
\boxed{U=\frac12\sum_iq_i\varphi_{\rm image}(\mathbf r_i),}
$$

其中 $1/2$ 不能遗漏，因为感应电荷是随真实电荷逐步建立的。

方法论的三个检验。 使用电像法后必须依次检验三件事：求解区域内 $\nabla^2\varphi=0$（像电荷必须全部位于区域之外，不引入新奇点）；所有导体表面边界条件被满足；无穷远条件正确。三件齐备后由唯一性定理（9.3 节）宣告解的唯一性。像电荷一旦落入求解区域内部，其奇点就变成真实场的一部分，构造即告失败。

感应电荷与像电荷。 像电荷本身是虚构的，但导体上的感应总电荷恰好等于全部像电荷之和（22.1 节已核对）。因此“导体感应了多少电荷”可以直接从像电荷读出，不必先算 $\sigma$ 再积分。

22. 六类典型电像模型

22.1 点电荷与接地无限大平面

建模

真实电荷 $q$ 位于 $z=d$，接地平面为 $z=0$。在另一侧 $z=-d$ 放置像电荷 $-q$。

上半空间的势为

推导

真实电荷与像电荷到上半空间场点 $(\rho,z)$ 的距离分别为

$$
R_+=\sqrt{\rho^2+(z-d)^2},
\qquad
R_-=\sqrt{\rho^2+(z+d)^2}.
$$

利用叠加原理，候选势为 $q/(4\pi\varepsilon_0R_+)-q/(4\pi\varepsilon_0R_-)$。在 $z=0$ 时 $R_+=R_-$，所以边界势严格为零；上半空间除真实电荷处外满足 Laplace 方程，且无穷远势为零。唯一性定理保证它就是物理解：

结论

$$
\boxed{\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}
\left[\frac1{\sqrt{\rho^2+(z-d)^2}}
-\frac1{\sqrt{\rho^2+(z+d)^2}}\right].}
$$

在 $z=0$ 两项严格抵消。真实电荷受力等于距它 $2d$ 的像电荷作用力：

推导

像电荷位于真实电荷正下方，二者距离为 $2d$，所以

$$
\mathbf F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q(-q)}{(2d)^2}\hat{\mathbf z}.
$$

结论

$$
\boxed{\mathbf F=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0d^2}\hat{\mathbf z}.}
$$

相互作用能为

推导

把真实电荷从无穷远缓慢移到距平面 $d$ 处。瞬时距离为 $z$ 时受力 $F_z=-q^2/(16\pi\varepsilon_0z^2)$，外力为其反向。因此

$$
U(d)-U(\infty)=\int_\infty^d
\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0z^2},\mathrm dz.
$$

结论

$$
\boxed{U=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0d}.}
$$

注意它不是 $q$ 与像电荷普通两体势能 $-q^2/(8\pi\varepsilon_0d)$，而是后者的一半。

感应面电荷密度也可由模型算出

导体外法向取 $+\hat{\mathbf z}$。由势函数求平面上方的法向场：

$$
E_z(\rho,0^+)
=-\left.\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right|_{z=0^+}.
$$

分别求导：

$$
\frac{\partial}{\partial z}
\frac1{\sqrt{\rho^2+(z\mp d)^2}}
=-\frac{z\mp d}{[\rho^2+(z\mp d)^2]^{3/2}}.
$$

令 $z=0$，得到

$$
E_z(\rho,0^+)
=-\frac{qd}{2\pi\varepsilon_0(\rho^2+d^2)^{3/2}}.
$$

导体表面条件 $\sigma=\varepsilon_0E_n$ 给出

$$
\sigma(\rho)
=-\frac{qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}.
$$

检查总感应电荷：

$$
Q_{\rm ind}=\int_0^\infty\sigma(\rho)2\pi\rho,\mathrm d\rho
=-qd\int_0^\infty
\frac{\rho,\mathrm d\rho}{(\rho^2+d^2)^{3/2}}=-q.
$$

这与像电荷总量 $-q$ 一致。

22.2 点电荷与两个互相垂直的接地平面

建模

接地面为 $x=0$ 与 $y=0$，真实电荷 $q$ 位于第一象限 $(a,b)$。需要三个像电荷：

推导

$$
\begin{array}{c|c}
\text{位置}&\text{电荷}\ \hline
(-a,b)&-q\
(a,-b)&-q\
(-a,-b)&+q
\end{array}
$$

每次关于一个接地平面反射都改变电荷符号。代入 $x=0$ 或 $y=0$，四个电荷的势均成对抵消。若两平面的夹角不是 $\pi/n$，通常不能用有限个像电荷封闭构造。

有限像电荷的条件。 夹角为 $\pi/n$（$n$ 为整数）时，反射生成的像电荷只有有限个（含真实电荷共 $2n$ 个）：每次关于角的两条边反射都改变电荷符号，经过 $2n$ 次反射后像点回到出发点，序列封闭。这就是 $90°$ 角恰有 4 个电荷、$60°$ 角有 6 个的原因；任意夹角（如 $50°$）则需要无穷级数或柱函数展开。

逐个构造像电荷

1. 为满足 $x=0$，把 $(a,b)$ 的 $+q$ 关于 $x=0$ 反射，得到 $(-a,b)$ 的 $-q$。
2. 为满足 $y=0$，把真实电荷关于 $y=0$ 反射，得到 $(a,-b)$ 的 $-q$。
3. 第二步新增的 $-q$ 会破坏 $x=0$ 的零势，必须再关于 $x=0$ 反射，得到 $(-a,-b)$ 的 $+q$。

在 $x=0$ 上，到 $(a,b)$ 和 $(-a,b)$ 的距离相等、符号相反；到 $(a,-b)$ 和 $(-a,-b)$ 的距离也相等、符号相反，所以势为零。$y=0$ 同理。

真实电荷受力可由三个像电荷相加。例如 $x$ 分量为

$$
F_x=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0a^2}
+\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q^2(2a)}{[4(a^2+b^2)]^{3/2}}.
$$

第一项来自 $(-a,b)$ 的吸引，第二项来自 $(-a,-b)$ 的斥力；$y$ 分量交换 $a,b$ 即可。

22.3 点电荷与接地导体球

建模

半径为 $a$ 的接地球球心在 $O$，真实电荷 $q$ 距球心 $d>a$。在连心线上放置

推导

设像电荷 $q’$ 位于球内连心线上距球心 $r’$ 处。球面点与轴夹角为 $\theta$，到真实电荷和像电荷距离满足

$$
R^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta,
$$

$$
R’^2=a^2+r’^2-2ar’\cos\theta.
$$

要求球面上对任意 $\theta$ 都有 $q/R+q’/R’=0$，所以 $R’/R$ 必须为常数。比较常数项与 $\cos\theta$ 系数，得到 $r’=a^2/d$，并有 $R’/R=a/d$。再令 $q’/(R’)=-q/R$，得到 $q’=-(a/d)q$：

结论

$$
\boxed{q’=-\frac adq,
\qquad r’=\frac{a^2}{d}.}
$$

球外势为

推导

$$
\varphi(\mathbf r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\left(\frac q{|\mathbf r-d\hat{\mathbf z}|}
+\frac{q’}{|\mathbf r-r’\hat{\mathbf z}|}\right).
$$

球面上任一点到两电荷的距离满足 $R’/R=a/d$，所以两项抵消。真实电荷受到指向球面的吸引力，大小为

推导

真实电荷与像电荷的间距为

$$
d-r’=d-\frac{a^2}{d}=\frac{d^2-a^2}{d}.
$$

把 $|q’|=aq/d$ 和该距离代入库仑力：

$$
F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q(aq/d)}{[(d^2-a^2)/d]^2}.
$$

结论

$$
\boxed{F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q^2ad}{(d^2-a^2)^2}.}
$$

若球是绝缘的中性孤立导体而非接地球，还需在球心增加像电荷 $-q’=qa/d$，使总感应电荷为零。

受力公式的化简与极限检查

像电荷到真实电荷的距离为

$$
s=d-r’=d-\frac{a^2}{d}
=\frac{d^2-a^2}{d}.
$$

库仑力大小

$$
F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q|q’|}{s^2}
=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q(aq/d)}{[(d^2-a^2)/d]^2}.
$$

分子分母同乘 $d^2$：

$$
F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q^2ad}{(d^2-a^2)^2}.
$$

当电荷离球面很近，令 $d=a+h$、$h\ll a$：

$$
d^2-a^2=(d-a)(d+a)\approx2ah.
$$

于是

$$
F\approx\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q^2a^2}{4a^2h^2}
=\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0h^2},
$$

恢复点电荷距接地平面 $h$ 的结果，说明小区域内大球面近似平面。

22.4 两个相切导体球：连续 Kelvin 反演

建模

两个球半径为 $R_1,R_2$，球心为 $\mathbf c_1,\mathbf c_2$，且 $|\mathbf c_1-\mathbf c_2|=R_1+R_2$。一般外部点电荷会在两个球之间产生无限像电荷序列。

若已有电荷 $q_n$ 位于 $\mathbf r_n$，关于第 $i$ 个接地球作一次 Kelvin 反演，新像电荷为

推导

先考虑球心在原点、半径为 $R_i$ 的单球。把上一小节的 $a,d,q$ 分别替换为 $R_i,|\mathbf r_n-\mathbf c_i|,q_n$，单球的 Kelvin 像满足：像点沿球心到源点方向，距球心为 $R_i^2/d_n$；像电荷为 $-(R_i/d_n)q_n$。把方向写回矢量形式，即得到以下递推式。

结论

$$
\boxed{q_{n+1}=-\frac{R_i}{|\mathbf r_n-\mathbf c_i|}q_n,}
$$

结论

$$
\boxed{\mathbf r_{n+1}=\mathbf c_i+
\frac{R_i^2(\mathbf r_n-\mathbf c_i)}{|\mathbf r_n-\mathbf c_i|^2}.}
$$

然后将这个像电荷关于另一个球反演，交替进行。每次反演修复一个球面的零电势，同时会破坏另一个球面的条件；无限序列的极限同时满足两球边界。实际数值计算应逐项累加，直到新增像电荷对目标区域电势的贡献低于指定误差。

前三次反演如何产生

设真实电荷为 $q_0$、位置为 $\mathbf r_0$，先对球 2 反演：

$$
q_1=-\frac{R_2}{|\mathbf r_0-\mathbf c_2|}q_0,
$$

$$
\mathbf r_1=\mathbf c_2+
\frac{R_2^2(\mathbf r_0-\mathbf c_2)}{|\mathbf r_0-\mathbf c_2|^2}.
$$

这使球 2 变为零势，但 $q_1$ 在球 1 上产生非零势。把 $q_1$ 对球 1 反演：

$$
q_2=-\frac{R_1}{|\mathbf r_1-\mathbf c_1|}q_1,
$$

并按同一位置公式得到 $\mathbf r_2$。然后 $q_2$ 又需对球 2 反演得到 $q_3$。因此序列不是任意猜测，而是“修复一个边界—破坏另一个边界—再修复”的迭代。

由于每次像点落在相应球内，真实求解区域中没有新增奇点。相切情形下像点趋近相切点，级数收敛较慢；实际计算必须报告截断项数或误差阈值。

22.5 线电荷与接地导体圆柱

建模

无限长接地圆柱半径为 $a$，真实线电荷密度 $\lambda$ 与轴平行，距轴 $d>a$。二维 Kelvin 反演给出位于 $d’=a^2/d$ 的像线电荷 $-\lambda$。

取截面坐标，$r_+$、$r_-$ 分别是场点到真实线电荷和像线电荷的距离，则圆柱外势可写为

推导

无限线电荷的径向场由高斯定理给出 $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$。从参考距离积分得到电势差，所以单根线电荷的势具有 $-(\lambda/2\pi\varepsilon_0)\ln r$ 的形式。真实线电荷 $+\lambda$ 与像线电荷 $-\lambda$ 叠加后，距离无关的参考常数合并为 $C$：

$$
\varphi=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_+
+\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_-+C.
$$

对圆周 $r=a$ 上任一点，几何反演 $d’=a^2/d$ 保证比值 $r_-/r_+$ 为常数，因而整个圆柱面等势；再选 $C$ 使该常数电势为零。

结论

$$
\boxed{\varphi=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}
\ln\frac{r_-}{r_+}+C.}
$$

常数 $C$ 选到使 $r=a$ 上 $\varphi=0$。这里电势是距离的对数，而不是三维点电荷的 $1/r$，因为无限线电荷是二维边值问题。

圆周上为什么 $r_-/r_+$ 为常数

在截面内令真实线电荷位于 $(d,0)$，像线电荷位于 $(d’,0)$，其中 $d’=a^2/d$。圆周上的点为 $(a\cos\theta,a\sin\theta)$。于是

$$
r_+^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta,
$$

$$
r_-^2=a^2+d’^2-2ad’\cos\theta.
$$

代入 $d’=a^2/d$：

$$
r_-^2
=a^2+\frac{a^4}{d^2}-\frac{2a^3}{d}\cos\theta
=\frac{a^2}{d^2}
(d^2+a^2-2ad\cos\theta).
$$

所以

$$
\frac{r_-}{r_+}=\frac ad,
$$

与 $\theta$ 无关。圆柱面上的势因此为常数；取

$$
C=-\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac ad
$$

即可使其为零。

22.6 点电荷与无限大电介质平面

建模

界面 $z=0$ 两侧介电常数分别为 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$，真实电荷 $q$ 位于介质 1 的 $z=d$。

对介质 1 中的势，可在镜像位置 $z=-d$ 放置

推导

先设未知系数：

$$
\varphi_1=\frac1{4\pi\varepsilon_1}
\left(\frac q{R_+}+\frac{q’}{R_-}\right),
\qquad
\varphi_2=\frac1{4\pi\varepsilon_2}\frac{q’’}{R_+}.
$$

在界面 $z=0$ 有 $R_+=R_-=R$。电势连续给出

$$
\frac{q+q’}{\varepsilon_1}=\frac{q’’}{\varepsilon_2}.
$$

界面无自由面电荷，所以 $D_{1n}=D_{2n}$。对 $1/R_+$ 与 $1/R_-$ 作法向求导时，两者在界面符号相反，得到

$$
q-q’=q’’.
$$

联立两式，先消去 $q’’$：

$$
\varepsilon_2(q+q’)=\varepsilon_1(q-q’),
$$

从而得到 $q’$；再代入 $q’’=q-q’$ 得到透射等效电荷。

结论

$$
\boxed{q’=q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}
{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.}
$$

于是

推导

$$
\varphi_1=\frac1{4\pi\varepsilon_1}
\left(\frac q{R_+}+\frac{q’}{R_-}\right).
$$

对介质 2 中的势，可用位于真实电荷位置的等效透射电荷

结论

$$
\boxed{q’’=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q,}
$$

写成 $\varphi_2=q’’/(4\pi\varepsilon_2R_+)$。这些系数来自界面处 $\varphi$ 连续以及无自由面电荷时 $D_n$ 连续。

若 $\varepsilon_2>\varepsilon_1$，则 $q’$ 与 $q$ 异号，真实电荷被界面吸引；若 $\varepsilon_2<\varepsilon_1$，则二者同号，真实电荷被排斥。令 $\varepsilon_2\to\infty$，得到接地导体平面的极限 $q’=-q$。

两个一致性极限。 $\varepsilon_1=\varepsilon_2$ 时 $q’=0$、$q’’=q$：界面消失，两区域公式统一为单一介质中的点电荷势。$\varepsilon_2\to\infty$ 时 $q’=-q$、$q’’\to0$：恢复接地导体平面（22.1 节）。吸引力随 $\varepsilon_2$ 增大而增强，物理图像是介质 2 表面的束缚极化电荷（20.1 节 $\sigma_b=P_{1n}-P_{2n}$）在镜像位置产生了等效的异号电荷。

解两个未知系数的代数步骤

边界条件给出的两式为

$$
q-q’=q’’,
$$

$$
\frac{q+q’}{\varepsilon_1}
=\frac{q’’}{\varepsilon_2}.
$$

把第一式代入第二式：

$$
\varepsilon_2(q+q’)
=\varepsilon_1(q-q’).
$$

把含 $q’$ 的项移到左边：

$$
(\varepsilon_1+\varepsilon_2)q’
=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)q.
$$

所以

$$
q’=q\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}
{\varepsilon_1+\varepsilon_2}.
$$

再由 $q’’=q-q’$：

$$
q’’=q\left[1-
\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}\right]
=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q.
$$

取 $+z$ 向上。真实电荷相对像电荷的位移沿 $+\hat{\mathbf z}$，所以

$$
F_z=\frac1{4\pi\varepsilon_1}
\frac{qq’}{(2d)^2}.
$$

若 $q’<0$，公式自动给出 $F_z<0$，即向下吸引；若 $q’>0$，则向上排斥。先规定正方向再保留电荷符号，可以避免重复添加负号。

---

第五章 静电场的能量

23. 自能、互能与场能

23.1 从组装电荷推导总能

建模

设把电荷从无穷远逐步搬运到最终分布。已经组装比例 $\lambda$ 时，电荷密度和电势分别为 $\lambda\rho$ 与 $\lambda\varphi$。再增加 $\mathrm d\lambda$ 时做功

推导

$$
\mathrm dU=\int_V\varphi_\lambda,\mathrm d\rho_\lambda,\mathrm dV
=\lambda,\mathrm d\lambda\int_V\rho\varphi,\mathrm dV.
$$

从 $\lambda=0$ 积到 1：

结论

$$
\boxed{U=\frac12\int_V\rho\varphi,\mathrm dV.}
$$

对面电荷和离散电荷分别写成

$$
U=\frac12\oint_S\sigma\varphi,\mathrm dS,
\qquad
U=\frac12\sum_iq_i\varphi_{\rm other}(\mathbf r_i).
$$

$1/2$ 用来避免把每对相互作用重复计算两次。

把 $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E$ 代入并分部积分，在场于无穷远足够快衰减时得到真空场能

结论

$$
\boxed{U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{\rm all\ space}E^2,\mathrm dV,}
$$

能量密度为 $u=\varepsilon_0E^2/2$。在线性电介质中，可逆准静态充电的能量密度为

结论

$$
\boxed{u=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D.}
$$

从电荷能逐步变换为场能

从真空中的

$$
U=\frac12\int\rho\varphi,\mathrm dV
$$

出发，用 $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E$：

$$
U=\frac{\varepsilon_0}{2}
\int\varphi(\nabla\cdot\mathbf E),\mathrm dV.
$$

使用乘积恒等式

$$
\nabla\cdot(\varphi\mathbf E)
=\varphi\nabla\cdot\mathbf E
+\mathbf E\cdot\nabla\varphi.
$$

解出第一项：

$$
\varphi\nabla\cdot\mathbf E
=\nabla\cdot(\varphi\mathbf E)
-\mathbf E\cdot\nabla\varphi.
$$

静电场 $\nabla\varphi=-\mathbf E$，所以

$$
\varphi\nabla\cdot\mathbf E
=\nabla\cdot(\varphi\mathbf E)+E^2.
$$

代回：

$$
U=\frac{\varepsilon_0}{2}
\int\nabla\cdot(\varphi\mathbf E),\mathrm dV
+\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2,\mathrm dV.
$$

第一项用散度定理化为无穷远边界积分：

$$
\frac{\varepsilon_0}{2}
\oint_{S_\infty}\varphi\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

对有限局域电荷分布，$\varphi\sim1/r$、$E\sim1/r^2$、面积 $\sim r^2$，边界项整体按 $1/r$ 衰减到零，因此只剩场能积分。

在线性介质中，从零场逐步增加自由电荷，$\mathbf D$ 与 $\mathbf E$ 同比例增长。微分功密度为

$$
\mathrm du=\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf D.
$$

令 $\mathbf D’=\lambda\mathbf D$、$\mathbf E’=\lambda\mathbf E$：

$$
u=\int_0^1(\lambda\mathbf E)\cdot\mathbf D,\mathrm d\lambda
=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D.
$$

非线性介质一般应保留 $u=\int_0^{\mathbf D}\mathbf E(\mathbf D’)\cdot\mathrm d\mathbf D’$，不能直接套 $1/2$。

讨论：点电荷的自能发散。 对理想点电荷，$\varphi\sim q/(4\pi\varepsilon_0r)$ 在源点发散，自能 $\frac12q\varphi_{\rm self}$ 无穷大。点电荷是宏观理想化，其自能在静电学中没有意义。若把电子自能取为 $mc^2$ 反推其“半径”，得到经典电子半径

$$
r_e=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\approx2.8\times10^{-15}\ \mathrm m.
$$

这只是一个量级估计（电子在量子理论中没有确定半径），但它正确地标出了“电磁自能不可忽略的尺度”。凡涉及点电荷的能量，只能谈互能。

23.2 自能与互能的区分

若 $\rho=\rho_1+\rho_2$，$\varphi=\varphi_1+\varphi_2$，展开总能：

推导

$$
U=\frac12\int\rho_1\varphi_1,\mathrm dV
+\frac12\int\rho_2\varphi_2,\mathrm dV
+\frac12\int(\rho_1\varphi_2+\rho_2\varphi_1),\mathrm dV.
$$

前两项是各自的自能。利用静电互易性

$$
\int\rho_1\varphi_2,\mathrm dV
=\int\rho_2\varphi_1,\mathrm dV,
$$

互能可写为

结论

$$
\boxed{U_{12}=\int\rho_1\varphi_2,\mathrm dV
=\int\rho_2\varphi_1,\mathrm dV.}
$$

离散点电荷例子

两个不同点电荷 $q_1,q_2$ 相距 $r_{12}$。忽略每个理想点电荷发散的自能，只保留互能：

$$
U_{12}=q_1\varphi_2(\mathbf r_1)
=q_1\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0r_{12}}
=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r_{12}}.
$$

若从总和公式计算：

$$
U=\frac12[q_1\varphi_2(\mathbf r_1)
+q_2\varphi_1(\mathbf r_2)],
$$

括号中两项数值相同，$1/2$ 正好消除重复计数。异号电荷互能为负，表示把它们从无穷远组装到有限距离时，电场对外界做了净功。

24. 三个典型能量模型

24.1 均匀带电实心球的自能

建模

半径 $R$、总电荷 $Q$ 均匀分布在球内。可以把球从内向外由薄壳组装起来。半径 $r$ 时已经组装的电荷为

推导

$$
q(r)=Q\frac{r^3}{R^3}.
$$

再加厚度 $\mathrm dr$ 的薄壳，其电荷为

$$
\mathrm dq=\frac{3Qr^2}{R^3},\mathrm dr.
$$

已组装内球在半径 $r$ 处的电势为 $q(r)/(4\pi\varepsilon_0r)$，所以

$$
\mathrm dU=\frac1{4\pi\varepsilon_0}
\frac{q(r),\mathrm dq}{r}
=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^6}r^4,\mathrm dr.
$$

积分得到

结论

$$
\boxed{U_{\rm uniform\ sphere}
=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}.}
$$

积分的逐行完成

由

$$
\mathrm dU=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^6}r^4,\mathrm dr
$$

从 $r=0$ 积到 $R$：

$$
U=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^6}
\int_0^Rr^4,\mathrm dr.
$$

$$
\int_0^Rr^4,\mathrm dr
=\left.\frac{r^5}{5}\right|_0^R
=\frac{R^5}{5}.
$$

所以

$$
U=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^6}
\frac{R^5}{5}
=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}.
$$

检查：能量与 $Q^2$ 成正比，反号电荷整体翻转不改变自能；$R$ 越小，电荷彼此平均距离越小，自能越大。

与导体球的精确比值。 比较 24.2 节：同 $Q$、同 $R$ 时

$$
\frac{U_{\rm uniform}}{U_{\rm conducting}}
=\frac{3Q^2/(20\pi\varepsilon_0R)}{Q^2/(8\pi\varepsilon_0R)}
=\frac65=1.2.
$$

均匀球自能恰好比导体球大 $20%$——这是“把电荷压进球内部”所需额外功的定量体现。

24.2 带电导体球的自能

建模

半径 $R$ 的孤立导体球在充电到瞬时电荷 $q$ 时，表面电势为

推导

$$
V(q)=\frac q{4\pi\varepsilon_0R}.
$$

再搬入 $\mathrm dq$ 所需功为 $\mathrm dU=V(q)\mathrm dq$，故

结论

$$
U=\int_0^Q\frac q{4\pi\varepsilon_0R},\mathrm dq
=\boxed{\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}}.
$$

利用 $C=4\pi\varepsilon_0R$，也可写成

结论

$$
\boxed{U=\frac{Q^2}{2C}=\frac12QV=\frac12CV^2.}
$$

均匀实心球自能比同半径导体球更大，因为一部分电荷位于更靠近球心的位置，组装它们需要克服更高的平均电势。

用场能再独立核对

导体球内部 $E=0$，外部

$$
E(r)=\frac Q{4\pi\varepsilon_0r^2}.
$$

因此

$$
U=\frac{\varepsilon_0}{2}
\int_R^\infty E^2(r)4\pi r^2,\mathrm dr.
$$

代入：

$$
U=\frac{\varepsilon_0}{2}
\int_R^\infty
\frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2r^4}
4\pi r^2,\mathrm dr.
$$

整理常数：

$$
U=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}
\int_R^\infty\frac{\mathrm dr}{r^2}
=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}
\left[-\frac1r\right]_R^\infty.
$$

于是 $U=Q^2/(8\pi\varepsilon_0R)$，与逐步充电法一致。

24.3 电偶极子的能量

建模

理想点偶极子的两个点电荷自能发散，所以通常只讨论它与外场的互能。把偶极子从与外场垂直的方向缓慢转到夹角 $\theta$：

推导

$$
\mathrm dU=-\tau,\mathrm d\theta
=pE\sin\theta,\mathrm d\theta.
$$

积分并选择垂直方向能量为零：

结论

$$
\boxed{U=-\mathbf p\cdot\mathbf E=-pE\cos\theta.}
$$

若 $\mathbf p=\alpha_e\mathbf E$ 是外场逐步诱导出来的，建立过程中偶极矩从 0 增长到最终值，能量多一个 $1/2$：

结论

$$
\boxed{U_{\rm induced}=-\frac12\alpha_eE^2.}
$$

两个相距 $r$ 的固定偶极子的互能，由偶极子 1 在偶极子 2 位置的场代入 $U=-\mathbf p_2\cdot\mathbf E_1$：

结论

$$
\boxed{U_{12}=\frac1{4\pi\varepsilon_0r^3}
\left[\mathbf p_1\cdot\mathbf p_2
-3(\mathbf p_1\cdot\hat{\mathbf r})
(\mathbf p_2\cdot\hat{\mathbf r})\right].}
$$

头尾相接且同向时 $U_{12}<0$，是较稳定排列；并排同向时 $U_{12}>0$。

偶极—偶极互能的逐项代入

偶极子 1 在偶极子 2 位置的场为

$$
\mathbf E_1
=\frac1{4\pi\varepsilon_0r^3}
\left[3(\mathbf p_1\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}
-\mathbf p_1\right].
$$

偶极子 2 的势能是

$$
U_{12}=-\mathbf p_2\cdot\mathbf E_1.
$$

逐项点乘：

$$
U_{12}=-\frac1{4\pi\varepsilon_0r^3}
\left[3(\mathbf p_1\cdot\hat{\mathbf r})
(\mathbf p_2\cdot\hat{\mathbf r})
-\mathbf p_2\cdot\mathbf p_1\right].
$$

把负号分配进去：

$$
U_{12}=\frac1{4\pi\varepsilon_0r^3}
\left[\mathbf p_1\cdot\mathbf p_2
-3(\mathbf p_1\cdot\hat{\mathbf r})
(\mathbf p_2\cdot\hat{\mathbf r})\right].
$$

特殊排列检查：

• 头尾同向：$\mathbf p_1\parallel\mathbf p_2\parallel\hat{\mathbf r}$，括号为 $p_1p_2-3p_1p_2=-2p_1p_2$；
• 并排同向：$\mathbf p_1\parallel\mathbf p_2\perp\hat{\mathbf r}$，括号为 $+p_1p_2$；
• 并排反向：括号为 $-p_1p_2$。

这些符号直接判断相应排列相对有利还是不利。

与 4.3 节梯度力的一致性核对。 对头尾同向排列，$U_{12}=-2p_1p_2/(4\pi\varepsilon_0r^3)$，沿连线求导

$$
F=-\frac{\mathrm dU_{12}}{\mathrm dr}
=-\frac{3p_1p_2}{2\pi\varepsilon_0r^4},
$$

与 4.3 节用 $\mathbf F=(\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E$ 得到的偶极—偶极力完全相同。能量路线与力路线互为验证。

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第六章 电介质中的静电能与虚功

25. 电容器能量的电荷形式与电场形式

25.1 建模

取任意两导体电容器，电容为 $C$。从不带电状态开始，以准静态方式把正电荷从负极板搬到正极板。准静态意味着每一步都近似处于静电平衡，不计辐射和导线焦耳热。

25.2 从逐步充电推导电荷形式

当极板瞬时电荷为 $q$ 时，电势差不是最终电压，而是

$$
v(q)=\frac qC.
$$

再搬运 $\mathrm dq$，外力做功

$$
\mathrm dU=v(q),\mathrm dq=\frac qC,\mathrm dq.
$$

从 $q=0$ 积到最终 $Q$：

$$
U=\int_0^Q\frac qC,\mathrm dq
=\frac{Q^2}{2C}.
$$

利用 $Q=CV$，同一结果可写成

$$
\boxed{U=\frac{Q^2}{2C}=\frac12QV=\frac12CV^2.}
$$

三个表达式描述同一能量，但解题时应根据受控条件选择：孤立电容器通常固定 $Q$；接在理想电压源上通常固定 $V$。

25.3 平行板模型中的场能

平行板面积 $A$、间距 $d$、均匀介质介电常数 $\varepsilon$，忽略边缘场：

$$
C=\frac{\varepsilon A}{d},\qquad V=Ed.
$$

代入 $U=CV^2/2$：

$$
U=\frac12\frac{\varepsilon A}{d}(Ed)^2
=\frac12\varepsilon E^2(Ad).
$$

$Ad$ 正是场所在体积，故单位体积能量为

$$
\boxed{w=\frac12\varepsilon E^2
=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D.}
$$

这不是只对平行板成立的偶然结果；平行板只是把一般局域能量密度用均匀场模型直接展示出来。

数值例：1 F 平行板的尺度。 真空、间距 $d=1$ mm 的平行板要实现 $C=1$ F：

$$
A=\frac{Cd}{\varepsilon_0}
=\frac{1\times10^{-3}}{8.85\times10^{-12}}
\approx1.1\times10^{8}\ \mathrm{m^2},
$$

相当于边长约 10 km 的方板。这就是实用大电容依赖电介质与双电层的原因：电解电容和超级电容器在纳米尺度的间隙中存储电荷，等效面积密度提高了百万倍。

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26. 宏观静电能密度与极化能

26.1 一般可逆充电过程

在介质的一小块体元内，把自由电荷从零逐步建立。电位移发生微小变化 $\mathrm d\mathbf D$ 时，电源对单位体积做功

$$
\mathrm dw=\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf D.
$$

因此一般可逆介质的能量密度不是先验的 $\mathbf E\cdot\mathbf D/2$，而是沿实际本构路径积分：

$$
\boxed{w(\mathbf D)=\int_{\mathbf 0}^{\mathbf D}
\mathbf E(\mathbf D’)\cdot\mathrm d\mathbf D’.}
$$

若线性介质 $\mathbf D’=\varepsilon\mathbf E’$，可令 $\mathbf D’=\lambda\mathbf D$，则 $\mathbf E’=\lambda\mathbf E$：

$$
w=\int_0^1(\lambda\mathbf E)\cdot\mathbf D,\mathrm d\lambda
=\frac12\mathbf E\cdot\mathbf D.
$$

26.2 真空场能与极化贡献的拆分

使用 $\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P$：

$$
w=\frac12\mathbf E\cdot
(\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P).
$$

所以在线性无损介质中

$$
\boxed{w=\frac12\varepsilon_0E^2
+\frac12\mathbf E\cdot\mathbf P.}
$$

第一项是真空式场能；第二项是宏观极化响应参与后的能量项。这里的拆分依赖线性、可逆建立过程。若偶极矩是外场诱导的，$\mathbf P$ 从零随场增长，因此出现 $1/2$；固定永久偶极子在给定外场中的单体势能则是 $-\mathbf p\cdot\mathbf E$，两者不能混用。

讨论：能量储存在哪里。 电荷形式把能量归于电荷，场能形式把能量归于场。两种看法给出相同的总能量，但在局部意义不同。只有在能量可以局域变化并被探测时（电磁波携带能量与动量、引力效应），“场携带能量”才成为物理事实——电磁波的存在正是场能观点的决定性证据。纯静电问题中两种记账等价，选择最便于计算的一种即可。

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27. 非线性介质与电滞损耗

27.1 非线性但可逆的介质

设一维本构关系为

$$
D(E)=\varepsilon_0E+\alpha E+\beta E^3.
$$

从零场增加到 $E$，能量密度应计算

$$
w=\int_0^D E(D’),\mathrm dD’.
$$

改用 $E’$ 作积分变量，$\mathrm dD=(\mathrm dD/\mathrm dE’)\mathrm dE’$：

$$
w=\int_0^E E’\left(\varepsilon_0+\alpha+3\beta E’^2\right)\mathrm dE’.
$$

逐项积分：

$$
\boxed{w=\frac12(\varepsilon_0+\alpha)E^2
+\frac34\beta E^4.}
$$

可见非线性介质一般不能写成 $w=ED/2$。

27.2 有电滞时为什么会损耗

若 $D$ 不仅依赖当前 $E$，还依赖历史，充电与放电沿不同路径。一个周期内电源对单位体积做的净功是

$$
\boxed{W_{\rm loss}=\oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf D.}
$$

在 $D$—$E$ 图上，它等于闭合电滞回线的有向面积。线性无损介质中 $D=\varepsilon E$ 是一条直线，往返路径重合，闭合面积为零；有电滞时面积非零，能量最终转化为热。

应用：铁电存储与损耗估计。 电滞回线的双稳态（$\pm$ 剩余极化）正是铁电随机存储器的物理基础：写操作沿回线翻转极化，读操作探测极化方向；回线面积则是每次开关的耗能，决定器件功耗下限。对铁电电容器的交流应用，回线面积对应介质损耗，工程上用损耗角正切 $\tan\delta$ 描述。估计任何铁电器件的功耗：先画回线、再量面积即可。

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28. 用虚功原理求带电体系的力

28.1 孤立体系：固定电荷

设机械坐标为 $x$，例如两极板间距。体系与电源断开，总电荷 $Q$ 固定。静电力做正功时，场能减少：

$$
F_x,\mathrm dx=-\mathrm dU.
$$

因此

$$
\boxed{F_x=-\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_Q.}
$$

对平行板 $C(x)=\varepsilon A/x$：

$$
U(Q,x)=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2x}{2\varepsilon A}.
$$

所以

$$
F_x=-\frac{Q^2}{2\varepsilon A}.
$$

负号表示力使间距减小，即两板相吸。

28.2 接理想电压源：固定电压

若 $V$ 固定，机械位移时电源会交换电荷，不能只对场能 $U_f=CV^2/2$ 取负导数。电源提供的微分功为

$$
\mathrm dW_s=V,\mathrm dQ=V^2,\mathrm dC.
$$

场能变化为

$$
\mathrm dU_f=\frac12V^2,\mathrm dC.
$$

能量守恒 $\mathrm dW_s=\mathrm dU_f+F_x\mathrm dx$ 给出

$$
F_x\mathrm dx=\frac12V^2,\mathrm dC.
$$

所以

$$
\boxed{F_x=\frac12V^2
\left(\frac{\partial C}{\partial x}\right)_V.}
$$

对 $C=\varepsilon A/x$，$\partial C/\partial x=-\varepsilon A/x^2$，故

$$
F_x=-\frac12\frac{\varepsilon AV^2}{x^2}.
$$

它与电压力 $P=\varepsilon E^2/2$ 乘面积所得结果一致，因为 $E=V/x$。

应用：电介质板被吸入电容器

建模：平行板宽 $b$、长 $a$、间距 $d$，一块介电常数 $\varepsilon$ 的电介质板从侧边插入深度 $x$（其余部分为真空），极板电压 $V$ 恒定。电容是两段并联：

$$
C(x)=\frac{\varepsilon xb}{d}+\frac{\varepsilon_0(a-x)b}{d}.
$$

推导：用固定电压公式

$$
F_x=\frac12V^2\frac{\mathrm dC}{\mathrm dx}
=\frac12V^2\frac{(\varepsilon-\varepsilon_0)b}{d}>0.
$$

结论

$$
\boxed{F_x=\frac{(\varepsilon-\varepsilon_0)bV^2}{2d}.}
$$

力与 $x$ 无关且恒为吸入方向——只要介质板部分插入，就会被整个拉入。固定电荷的孤立版本给出相同的力（电荷重排使两种受控条件在同一物理状态下给出同一结果）。这是“电介质被带电电容器吸引”实验的理论解释，也是静电微机械执行器的基础公式。

---

第七章 电流与集中参数电路

29. 电流连续性方程与稳恒条件

取固定体积 $V$。体内电荷减少率等于流出边界的电流：

$$
\boxed{\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int_V\rho,\mathrm dV
=-\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S.}
$$

利用散度定理，并因体积任意：

$$
\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}
+\nabla\cdot\mathbf J=0.}
$$

稳恒电流的定义是宏观电流分布不随时间变化且各处不持续积累电荷。在稳恒条件下 $\partial\rho/\partial t=0$，所以

$$
\boxed{\nabla\cdot\mathbf J=0.}
$$

对一根无分支导线取包围一段导线的控制体，侧面无电流穿出，则两端截面满足 $I_1=I_2$；这就是“串联支路电流相等”的连续介质来源。

应用：焦耳热功率密度。 电流通过电阻场做功，单位体积功率为

$$
p=\mathbf J\cdot\mathbf E
=\sigma E^2.
$$

对一段截面积 $S$、长度 $\ell$ 的均匀导线，$I=\sigma ES$、$V=E\ell$，体积分

$$
P=pS\ell=\sigma E^2S\ell
=\left(\frac I S\right)\left(\frac V\ell\right)S\ell
=IV=I^2R.
$$

微观的 $p=\mathbf J\cdot\mathbf E$ 与宏观的 $P=I^2R$ 严格一致；电源内部的 $\mathbf J\cdot\mathbf E<0$ 区域（电流逆着电源电场流动）则给出电源的供电功率。

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30. 基尔霍夫定律的推导

30.1 节点电流定律

用一个很小的闭合面包围电路节点。集中参数近似下，电流只通过各导线截面进出。若节点不积累宏观电荷，连续性方程积分形式给出

$$
0=-\oint_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

规定流出节点为正：

$$
\boxed{\sum_k I_k=0.}
$$

它本质上是电荷守恒，不是独立于电磁学的新定律。

30.2 回路电压定律

在准静态集中参数电路中，导线外感生电场可忽略，电势是单值函数。沿闭合回路

$$
\oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l=0.
$$

把回路分成元件段，每段电势变化记为 $\Delta V_k$：

$$
\boxed{\sum_k\Delta V_k=0.}
$$

电阻沿电流方向电势下降 $IR$；从电源负端跨到正端电势上升 $\mathcal E$。例如单回路：

$$
\mathcal E-IR=0
\quad\Rightarrow\quad I=\frac{\mathcal E}{R}.
$$

若回路被显著变化的磁通穿过，$\oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l=-\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt$，普通 KVL 必须加入感应电动势项。

讨论：方程数目的图论计数。 一个含 $b$ 条支路、$n$ 个节点的电路有 $b$ 个未知支路电流。KCL 独立方程数为 $n-1$（$n$ 个节点方程相加恒等于零，只有 $n-1$ 个独立）；KVL 独立方程数为 $b-n+1$（每个独立回路一个）。两者合计恰好 $b$ 个独立方程，与未知数数目相同——这就是列方程“不多不少”的组合学保证。选独立回路时注意每个新回路必须含一条尚未用过的支路。

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31. 等势、节点拆并与电路转化

31.1 等势法

理想导线电阻为零。有限电流通过时 $\Delta V=IR=0$，所以同一理想导线连续连接的点属于同一节点。重画电路时可以移动导线形状，但不能改变节点连接关系。

若桥式电路关于中轴完全对称，且电源接在对称轴上，对称点的边界条件相同。唯一性保证它们电势相等；连接这些等势点的支路电流为

$$
I_{ab}=\frac{V_a-V_b}{R_{ab}}=0.
$$

因此该支路可在求其余电流时删去，但“零电流”必须由对称或计算证明。

31.2 节点拆分与合并

合并节点的条件是两点由理想导线直接连接，或已证明在所有工作状态下等势。拆分一个节点会改变电荷守恒约束，除非拆开的部分仍由理想导线连接并明确标记为同一电势变量。

对复杂网络最稳妥的方法是给每个独立节点设电势 $V_i$，对每个非参考节点列

$$
\sum_j\frac{V_i-V_j}{R_{ij}}=I_i^{\rm source}.
$$

这是 KCL 与欧姆定律的直接组合，避免凭图形外观误判串并联。

31.3 星形—三角形电阻变换

设星形三臂为 $R_a,R_b,R_c$，总和 $S_R=R_a+R_b+R_c$。要求从任意两端看进去的等效电阻相同，可得到对应三角形：

$$
\boxed{R_{ab}=R_a+R_b+\frac{R_aR_b}{R_c}
=\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c},}
$$

其余两式循环置换。反变换为

$$
\boxed{R_a=\frac{R_{ab}R_{ca}}
{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}},}
$$

其余同理。使用前应先标记端点，不能只按图上“上、下、左、右”记忆公式。

数值例：全等星形与三角形。 若星形三臂全为 $R$，任意两端之间的等效电阻为 $2R$；全等三角形 $R_\Delta$ 两端之间为 $R_\Delta\parallel2R_\Delta=2R_\Delta/3$。要求两者对任意两端等效电阻相等：

$$
2R=\frac{2R_\Delta}{3}
;\Rightarrow;
R_\Delta=3R.
$$

对称情形的三角形电阻是星形的 3 倍——比完整公式更容易记忆，也适合快速检验。

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第八章 稳恒磁场

32. 从洛伦兹力到安培力

32.1 建模

取一段截面积 $S$、长度矢量 $\mathrm d\mathbf l$ 的载流导线。载流子数密度为 $n$，单个载流子电荷为 $q$，漂移速度为 $\mathbf v_d$。外磁场在这段导线上近似均匀。

32.2 逐步推导

体元内载流子数为

$$
\mathrm dN=nS,\mathrm dl.
$$

单个载流子受到磁洛伦兹力

$$
\mathbf f=q\mathbf v_d\times\mathbf B.
$$

体元内所有载流子的总磁力为

$$
\mathrm d\mathbf F=(nS,\mathrm dl)q\mathbf v_d\times\mathbf B.
$$

电流定义为 $I=nqv_dS$。约定 $\mathrm d\mathbf l$ 沿正电流方向，即 $\mathbf v_d\mathrm dl=v_d\mathrm d\mathbf l$，所以

$$
\boxed{\mathrm d\mathbf F=I,\mathrm d\mathbf l\times\mathbf B.}
$$

有限导线的力为

$$
\boxed{\mathbf F=I\int_C\mathrm d\mathbf l\times\mathbf B.}
$$

若 $\mathbf B$ 均匀且导线从 A 延伸到 B，积分 $\int_A^B\mathrm d\mathbf l=\mathbf r_B-\mathbf r_A$，因此弯曲细节不影响总力。磁力始终垂直载流子速度，本身不对单个电荷做功；导线发生机械运动时，能量交换还涉及维持电流的电源。

应用：霍尔效应。 载流导体板（载流子电荷 $q$、数密度 $n$、厚 $d$、宽 $w$）置于垂直磁场 $\mathbf B$ 中，载流子偏转积累横向电场，稳态时洛伦兹力平衡：

$$
qE_H=qvB
;\Rightarrow;
E_H=vB.
$$

由 $I=nqvwd$ 得

$$
\boxed{V_H=\frac{IB}{nqd}.}
$$

测 $V_H$ 可得载流子符号与数密度：金属（电子）与半导体（可正可负）的霍尔电压符号相反。霍尔传感器测量磁场、霍尔推进器约束等离子体都基于同一机制。

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33. 毕奥—萨伐尔定律

33.1 电流元模型

源电流元位于 $\mathbf r’$；场点为 $\mathbf r$。定义

$$
\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r’,\qquad R=|\mathbf R|.
$$

稳恒细导线电流产生的磁场元为

$$
\boxed{\mathrm d\mathbf B
=\frac{\mu_0}{4\pi}
\frac{I,\mathrm d\mathbf l’\times\mathbf R}{R^3}.}
$$

方向由右手定则确定，大小为

$$
\mathrm dB=\frac{\mu_0}{4\pi}
\frac{I,\mathrm dl’\sin\alpha}{R^2}.
$$

33.2 从磁矢势方程推导

稳恒磁场满足 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$、$\nabla\cdot\mathbf B=0$。令

$$
\mathbf B=\nabla\times\mathbf A
$$

并选择 Coulomb 规范 $\nabla\cdot\mathbf A=0$。利用

$$
\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)
=\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)-\nabla^2\mathbf A,
$$

得到 Poisson 方程

$$
\nabla^2\mathbf A=-\mu_0\mathbf J.
$$

它与静电势 Poisson 方程具有相同 Green 函数，因此

$$
\mathbf A(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}
\int\frac{\mathbf J(\mathbf r’)}{|\mathbf r-\mathbf r’|},\mathrm dV’.
$$

对观察坐标取旋度：

$$
\mathbf B=\frac{\mu_0}{4\pi}
\int\nabla\left(\frac1R\right)\times\mathbf J(\mathbf r’),\mathrm dV’.
$$

因 $\nabla(1/R)=-\mathbf R/R^3$，交换叉乘次序后

$$
\boxed{\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\pi}
\int\frac{\mathbf J(\mathbf r’)\times\mathbf R}{R^3},\mathrm dV’.}
$$

细导线中 $\mathbf J\mathrm dV’=I\mathrm d\mathbf l’$，即恢复毕奥—萨伐尔定律。

讨论：为什么需要稳恒条件。 单个电流元产生的场不满足 $\nabla\cdot\mathbf B=0$——孤立的电流元在物理上不存在（电荷守恒要求电流连续）。毕奥—萨伐尔定律的物理意义只在闭合回路的积分层次上成立：求单段直导线的场只是数学中间步骤，物理模型永远是闭合回路，或与安培环路定理配合使用。

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34. 直导线与圆弧导线的磁场

34.1 无限长直导线

导线沿 $z$ 轴，场点到导线垂直距离为 $a$。源点坐标为 $z’$：

$$
R=\sqrt{a^2+z’^2},\qquad
\sin\alpha=\frac aR.
$$

各电流元磁场均沿方位角方向，故

$$
B=\frac{\mu_0I}{4\pi}
\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{a,\mathrm dz’}{(a^2+z’^2)^{3/2}}.
$$

令 $z’=a\tan\theta$，则积分变为

$$
\frac1a\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta,\mathrm d\theta
=\frac2a.
$$

所以

$$
\boxed{B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}.}
$$

34.2 有限直导线

若场点到两端连线与垂线的夹角分别为 $\theta_1,\theta_2$，同一积分改为有限上下限：

$$
\boxed{B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}
(\sin\theta_1+\sin\theta_2).}
$$

两端趋于无穷远时 $\theta_1=\theta_2=\pi/2$，恢复无限长结果。

34.3 圆弧圆心处

半径 $R$、圆心角 $\phi$ 的圆弧上，每个电流元与指向圆心的 $\mathbf R$ 垂直，且距离相同：

$$
\mathrm dB=\frac{\mu_0I}{4\pi R^2}\mathrm dl
=\frac{\mu_0I}{4\pi R}\mathrm d\phi.
$$

积分得

$$
\boxed{B_{\rm arc}=\frac{\mu_0I\phi}{4\pi R}.}
$$

整圆 $\phi=2\pi$ 时 $B=\mu_0I/(2R)$。直角折线或“直线 + 圆弧”模型应分别计算各段，再按磁场方向矢量相加；若场点位于某一直线段的延长线上，该段有 $\mathrm d\mathbf l\parallel\mathbf R$，贡献为零。

应用：两根平行直导线的力与安培的定义。 导线 1 在导线 2 处产生 $B_1=\mu_0I_1/(2\pi d)$（34.1 节），代入安培力公式（32 节）：

$$
\frac{F}{L}=I_2B_1
=\boxed{\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}.}
$$

同向电流相吸、反向相斥。历史上安培的定义正是“真空中相距 1 m 的两根无限长平行导线，各通 1 A 电流时每米长度受力 $2\times10^{-7}$ N”——这等价于把 $\mu_0$ 固定为 $4\pi\times10^{-7}$ N/A²（2019 年 SI 改革后改由精细结构常数确定）。

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35. 亥姆霍兹线圈

35.1 单圆线圈轴线场

半径 $R$、匝数 $N$ 的圆线圈在轴线上距中心 $z$ 处产生

$$
B_1(z)=\frac{\mu_0NI R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}.
$$

该式可由毕奥—萨伐尔定律积分得到：横向分量成对抵消，轴向投影多乘 $R/\sqrt{R^2+z^2}$。

35.2 两线圈间距为何等于半径

两相同线圈中心位于 $z=\pm s/2$，电流同向：

$$
B(z)=\frac{\mu_0NI R^2}{2}
\left[\frac1{(R^2+(z-s/2)^2)^{3/2}}
+\frac1{(R^2+(z+s/2)^2)^{3/2}}\right].
$$

对称性自动给出 $B’(0)=0$。为了让中心附近更均匀，再要求 $B’’(0)=0$。对

$$
f(x)=(R^2+x^2)^{-3/2}
$$

求二阶导数：

$$
f’’(x)=\frac{3(4x^2-R^2)}{(R^2+x^2)^{7/2}}.
$$

代入 $x=s/2$，条件 $f’’(s/2)=0$ 给出 $s=R$。因此

$$
\boxed{B(0)=\left(\frac45\right)^{3/2}
\frac{\mu_0NI}{R}.}
$$

间距等于半径不是经验巧合，而是消除中心二阶空间变化的结果。

均匀性的量级。 在 $s=R$ 条件下，中心附近 $B(z)$ 的前三阶导数都为零，第一个非零修正项是四阶：

$$
B(z)=B(0)\left[1-\frac{144}{125}\left(\frac zR\right)^4+\cdots\right].
$$

在 $|z|<0.3R$ 范围内不均匀性小于约 $1%$；到 $|z|=R/2$ 处约 $7%$。MRI 梯度线圈的线性区、精密磁强计的标定场都利用这一特性；需要更大的均匀体积时可用多线圈系统（四线圈可再消去四阶项）。

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36. 磁场高斯定理与安培环路定理

36.1 磁场高斯定理

因为 $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$，恒等式 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0$ 给出

$$
\boxed{\nabla\cdot\mathbf B=0.}
$$

对任意体积积分并用散度定理：

$$
\boxed{\oint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S=0.}
$$

物理意义是磁力线没有起点和终点，总是闭合；尚未发现孤立磁单极子。

36.2 安培环路定理

稳恒真空中 $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$。对跨越回路 $C$ 的任意曲面 $S$ 积分：

$$
\int_S(\nabla\times\mathbf B)\cdot\mathrm d\mathbf S
=\mu_0\int_S\mathbf J\cdot\mathrm d\mathbf S.
$$

由 Stokes 定理，左边为磁场环量，右边电流通量为穿过曲面的电流：

$$
\boxed{\oint_C\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l
=\mu_0I_{\rm enc}.}
$$

它只有在对称性使 $B$ 能从积分中提出时才适合直接求场。例如无限长直导线有 $B(2\pi r)=\mu_0I$；长螺线管有 $B\ell=\mu_0nI\ell$，所以管内 $B\approx\mu_0nI$；环形螺线管有 $B(2\pi r)=\mu_0NI$。

讨论：有限长螺线管的端点场。 无限长公式 $B=\mu_0nI$ 对有限长螺线管只在中心附近成立；沿轴线从管内趋近端点时，场约为中心值的一半：

$$
B_{\rm end}\approx\frac{\mu_0nI}{2}\qquad(L\gg R).
$$

应用：充电电容器的矛盾。 若对一根正在给电容器充电的导线用安培环路定理，穿过的电流随所选曲面而变（曲面可以从导线穿过，也可以从极板之间穿过），环量—电流对应关系失效。这一矛盾由位移电流解决（43.4 节）——安培环路定理只在稳恒条件下成立。

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37. 磁场边界关系

取跨越界面的薄高斯柱。磁通为零给出

$$
\boxed{B_{2n}-B_{1n}=0.}
$$

所以磁感应强度法向分量连续。

再取跨越表面电流密度 $\mathbf K$ 的窄矩形安培回路。令回路高度趋零：

$$
(\mathbf B_2-\mathbf B_1)\cdot\mathbf l
=\mu_0\mathbf K\cdot(\hat{\mathbf n}\times\mathbf l).
$$

写成矢量形式：

$$
\boxed{\hat{\mathbf n}\times(\mathbf B_2-\mathbf B_1)
=\mu_0\mathbf K.}
$$

无表面电流时切向 $\mathbf B$ 也连续；有理想面电流时切向分量发生跳变。

推导细节。 法向条件：取跨界面薄高斯柱，$\oint\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S=(B_{2n}-B_{1n})A$，磁通恒为零且 $A$ 任意，故 $B_{2n}=B_{1n}$。切向条件：取窄矩形回路，长边 $\mathbf l$ 沿切向，$\oint\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l=(B_{2t}-B_{1t})\ell$，安培环路定理给出 $\mu_0$ 乘穿过回路的表面电流 $\mathbf K\cdot(\hat{\mathbf n}\times\mathbf l)$，即得跳变式。极限过程与 20.1、20.2 节的药盒与窄回路完全相同。

应用：磁力线的折射。 无表面电流时，法向 $\mathbf B$ 连续、切向 $\mathbf H$ 连续，由 $\tan\theta=B_t/B_n$：

$$
\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}
=\frac{\mu_1}{\mu_2}.
$$

与 20.3 节电场线折射同构（$\varepsilon$ 换成 $\mu$）：磁力线进入高磁导率材料（如铁芯）时几乎平行于界面——高 $\mu$ 材料“引导”磁通量，这正是变压器铁芯把磁通约束在磁路内的机制。

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38. 磁聚焦、磁镜与三维磁阱

38.1 均匀场中的螺旋运动

把速度分解为 $\mathbf v=\mathbf v_\parallel+\mathbf v_\perp$。平行分量不受磁力；垂直分量满足

$$
\frac{mv_\perp^2}{r_L}=|q|v_\perp B.
$$

因此

$$
\boxed{r_L=\frac{mv_\perp}{|q|B},\qquad
\omega_c=\frac{|q|B}{m}.}
$$

轨迹是沿磁场推进的螺旋线。若一束粒子的 $v_\parallel$ 近似相同，它们转过整圈的时间 $2\pi/\omega_c$ 与速率无关，可在特定距离重新聚焦。

数值例与回旋加速器。 电子在 $B=1$ T 中：$\omega_c=eB/m\approx1.76\times10^{11}$ rad/s；动能 1 eV 的电子回旋半径 $r_L=mv_\perp/(eB)\approx3.4\ \mu$m。经典回旋加速器正是利用 $\omega_c$ 与速率无关：每半周加一次电压，粒子半径不断增大而周期不变，共振加速到 MeV 量级；进入相对论区后 $\omega_c$ 随能量下降，需要调频（同步回旋加速器）或特殊场形设计（等时性回旋加速器）。

38.2 缓变磁场中的磁镜

当磁场变化尺度远大于回旋半径，第一绝热不变量近似守恒：

$$
\mu=\frac{mv_\perp^2}{2B}=\text{常数}.
$$

磁力不做功，所以总动能 $m(v_\perp^2+v_\parallel^2)/2$ 守恒。粒子进入更强磁场时，$v_\perp^2\propto B$ 增大，$v_\parallel^2$ 减小。若在 $B=B_m$ 处 $v_\parallel=0$，粒子被反射。以初始位置 $B_0$、俯仰角 $\alpha_0$ 表示：

$$
\boxed{\sin^2\alpha_0\ge\frac{B_0}{B_m}}
$$

时可被磁镜俘获。

38.3 三维磁阱

静态无电流区域满足 $\nabla\cdot\mathbf B=0$、$\nabla\times\mathbf B=0$，不能形成所有分量都指向中心的局域磁场最大值；但弱场寻向粒子的势能近似为 $U=\mu B$，可以利用 $|\mathbf B|$ 的局域最小值束缚。纯四极场中心 $B=0$，会产生非绝热自旋翻转；实际 Ioffe–Pritchard 阱加入偏置场，使中心保持非零最小值。

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39. 磁矢势及其性质

磁场无散度允许局部写成

$$
\boxed{\mathbf B=\nabla\times\mathbf A.}
$$

$\mathbf A$ 不唯一。对任意标量函数 $\chi$：

$$
\mathbf A’=\mathbf A+\nabla\chi
$$

给出同一磁场，因为 $\nabla\times\nabla\chi=0$。这称为规范自由。常用 Coulomb 规范为 $\nabla\cdot\mathbf A=0$。

由 Stokes 定理，穿过曲面 $S$ 的磁通可以写成边界上的矢势环量：

$$
\boxed{\Phi_B=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S
=\oint_{\partial S}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l.}
$$

因此矢势不仅是计算工具，也直接编码磁通信息。

应用：无限长螺线管外部的矢势。 半径 $a$、单位长度 $n$ 匝的无限长螺线管内 $B=\mu_0nI$ 沿轴。取 $\mathbf A=A_\phi(r)\hat{\boldsymbol\phi}$，由 $\Phi=\oint\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l$：半径 $r<a$ 的圆环绕磁通 $\mu_0nI\pi r^2$，得

$$
A_\phi(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\mu_0nIr}{2},&r<a,\[2mm]
\dfrac{\mu_0nIa^2}{2r},&r>a.
\end{cases}
$$

管外 $B=0$ 但 $A\ne0$——矢势在管外空间的“拖曳”编码了管内磁通的信息。带电粒子在管外绕行时，波函数相位被 $\oint\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l$ 调制，这是 Aharonov–Bohm 效应的雏形。

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第九章 电磁感应与耦合线圈

40. 互感系数及其对称性

线圈 1 的电流 $I_1$ 在线圈 2 中产生磁通链 $\Psi_{21}=N_2\Phi_{21}$。在线性介质中磁场与电流成正比，定义

$$
\boxed{M_{21}=\frac{\Psi_{21}}{I_1}.}
$$

由法拉第定律，线圈 2 的感应电动势为

$$
\boxed{\mathcal E_2=-M_{21}\frac{\mathrm dI_1}{\mathrm dt}.}
$$

用 Neumann 公式可写

$$
M_{21}=\frac{\mu_0N_1N_2}{4\pi}
\oint_{C_1}\oint_{C_2}
\frac{\mathrm d\mathbf l_1\cdot\mathrm d\mathbf l_2}{R_{12}}.
$$

交换下标 1、2，点积和距离不变，因此

$$
\boxed{M_{12}=M_{21}=M.}
$$

这也可由磁场能交叉项必须唯一得到。

应用：用顺接/逆接测量互感。 同一对线圈顺接与逆接的总自感分别为 $L_+=L_1+L_2+2M$、$L_-=L_1+L_2-2M$（42 节），相减

$$
\boxed{M=\frac{L_+-L_-}{4}.}
$$

这是实验测定互感的实用方法：只需测量两次总电感，不必测磁通分布。非零互感是一对线圈“感受到彼此存在”的定量度量——变压器、无线充电的能量传递全部经由 $M$ 实现。

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41. 自感与 RL 暂态

线圈自身磁通链与电流成正比：

$$
\boxed{L=\frac\Psi I,\qquad
\mathcal E_L=-L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}.}
$$

接通直流电源 $\mathcal E$ 的串联 RL 回路满足

$$
L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+RI=\mathcal E.
$$

分离变量并用初值 $I(0)=0$：

$$
\boxed{I(t)=\frac{\mathcal E}{R}
\left(1-e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau=\frac LR.}
$$

断开电源而保留闭合 RL 回路时

$$
\boxed{I(t)=I_0e^{-t/\tau}.}
$$

线圈储能由逐步建立电流得到：$\mathrm dU=LI,\mathrm dI$，所以

$$
\boxed{U_L=\frac12LI^2.}
$$

应用：长螺线管的自感与能量平衡。 长度 $\ell$、匝数 $N$、截面积 $A$ 的长螺线管 $B=\mu_0NI/\ell$，磁通链 $\Psi=NBA$，所以

$$
L=\frac\Psi I
=\mu_0\frac{N^2A}{\ell}
=\boxed{\mu_0n^2V,}
$$

其中 $V=A\ell$ 是螺线管体积。接入 $\mathcal E$ 的 RL 回路中，把 $I(t)$ 代入能量守恒：电源总供能 $\int\mathcal E I,\mathrm dt$ 等于电阻焦耳热加 $\frac12LI^2$——电感把能量暂存于磁场，断开时再放出。日光灯镇流器、开关电源的升压都利用这一暂态。

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42. 耦合线圈的串联与并联

用同名端标记互感符号。串联时两线圈电流相同：

$$
v=(L_1+L_2)\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}
\pm2M\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}.
$$

顺接取正，逆接取负：

$$
\boxed{L_{\rm series}=L_1+L_2\pm2M.}
$$

并联时端电压相同，且 $I=I_1+I_2$。同名端并联满足

$$
v=L_1\dot I_1+M\dot I_2
=M\dot I_1+L_2\dot I_2.
$$

联立消去支路电流，得到

$$
\boxed{L_{\rm parallel,aiding}
=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}.}
$$

反向耦合时把 $M\to-M$：

$$
\boxed{L_{\rm parallel,opposing}
=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}.}
$$

理想完全耦合且参数使分母同时趋零时，简单集中参数模型可能退化，必须回到绕组连接和漏感模型判断。

应用：理想变压器。 完全耦合（$k=M/\sqrt{L_1L_2}=1$）且自感趋于无穷的极限下，两线圈端电压比等于匝数比：

$$
\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1},
$$

电流比为其倒数（功率守恒 $V_1I_1=V_2I_2$）。电力系统中变压器既升压远距离输电（降低 $I^2R$ 损耗）又降压配电；无线充电的两线圈系统则是非完全耦合变压器的直接应用，耦合系数 $k<1$ 决定传输效率。

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第十章 麦克斯韦方程组

43. 四条方程的积分形式与微分形式

43.1 电场高斯定理的推广

宏观介质中自由电荷作为 $\mathbf D$ 的源：

$$
\boxed{\oint_S\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf S=Q_{f,\rm in}}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{\nabla\cdot\mathbf D=\rho_f.}
$$

43.2 磁场高斯定理

$$
\boxed{\oint_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S=0}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{\nabla\cdot\mathbf B=0.}
$$

43.3 静电环路定理的推广：法拉第定律

变化磁通产生涡旋电场：

$$
\boxed{\oint_C\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l
=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}
\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S}
$$

由 Stokes 定理，对固定曲面得到

$$
\boxed{\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}.}
$$

负号体现 Lenz 定律：感应效应反抗磁通变化。

43.4 安培环路定理的推广

原稳恒形式 $\nabla\times\mathbf H=\mathbf J_f$ 两边取散度会给出 $0=\nabla\cdot\mathbf J_f$，无法描述电容器充电。

由自由电荷连续性

$$
\nabla\cdot\mathbf J_f=-\frac{\partial\rho_f}{\partial t}
=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf D).
$$

所以

$$
\nabla\cdot\left(\mathbf J_f+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}\right)=0.
$$

Maxwell 据此加入位移电流密度 $\partial\mathbf D/\partial t$：

$$
\boxed{\nabla\times\mathbf H
=\mathbf J_f+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}.}
$$

积分形式为

$$
\boxed{\oint_C\mathbf H\cdot\mathrm d\mathbf l
=I_{f,\rm enc}+\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}
\int_S\mathbf D\cdot\mathrm d\mathbf S.}
$$

对其取散度，恒等得到自由电荷连续性方程，说明电荷守恒已内含在 Maxwell 方程组中。

数值例：位移电流为什么难测。 充电电流 $I=1$ A 的平行板电容器，极板面积 $A=0.1$ m²，板间位移电流密度

$$
J_d=\frac{\partial D}{\partial t}=\frac IA=10\ \mathrm{A/m^2}.
$$

它产生的磁场量级 $B\sim\mu_0J_dr/2$：距轴 1 cm 处约 $6\times10^{-8}$ T，比地磁场（$\sim5\times10^{-5}$ T）还小三个数量级——这就是位移电流的磁效应在低频下难以直接测量的原因，需要高频、大电流或精细线圈才能分辨。但它对电磁波至关重要：真空中只有位移电流项能维持波动方程。

43.5 一般化到介质：从微观方程到宏观方程组（$\mathbf D$ 与 $\mathbf H$）

建模

介质中的 Maxwell 方程组不是新定律，而是同一组方程在介质里的等价写法：把束缚电荷与束缚电流从源项中吸收进辅助场 $\mathbf D$、$\mathbf H$，使方程只显式出现自由电荷与自由电流。出发点是微观（真空形式）方程组——它对一切电荷与电流成立：

$$
\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho_{\rm total}}{\varepsilon_0},\qquad
\nabla\cdot\mathbf B=0,
$$

$$
\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\qquad
\nabla\times\mathbf B=\mu_0\left(\mathbf J_{\rm total}
+\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right).
$$

推导

把源分拆为自由部分与介质响应部分：

$$
\rho_{\rm total}=\rho_f+\rho_b,\qquad
\mathbf J_{\rm total}=\mathbf J_f+\mathbf J_b,
$$

其中束缚电荷与束缚电流由 17.2 节与 44 节给出：

$$
\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P,\qquad
\mathbf J_b=\frac{\partial\mathbf P}{\partial t}+\nabla\times\mathbf M.
$$

Step 1：高斯定理。 代入 $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P$：

$$
\nabla\cdot(\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P)=\rho_f
\quad\Rightarrow\quad
\nabla\cdot\mathbf D=\rho_f.
$$

Step 2：法拉第定律不变。 $\mathbf E$ 的定义（单位电荷受力）与介质无关，感应电场在介质中同样成立，$\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ 原样保留。

Step 3：磁场高斯定理不变。 $\nabla\cdot\mathbf B=0$ 是普适的（无磁单极），不因介质改变。

Step 4：安培—麦克斯韦方程。 代入 $\mathbf J_b$：

$$
\nabla\times\mathbf B=\mu_0\left(\mathbf J_f
+\frac{\partial\mathbf P}{\partial t}
+\nabla\times\mathbf M
+\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\right).
$$

把磁化电流项移到左边、极化电流与位移电流合并：

$$
\nabla\times\left(\frac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M\right)
=\mathbf J_f+\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P).
$$

结论：宏观 Maxwell 方程组

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf D&=\rho_f,\[2mm]
\nabla\cdot\mathbf B&=0,\[2mm]
\nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},\[2mm]
\nabla\times\mathbf H&=\mathbf J_f+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t},
\end{aligned}}
$$

配以定义性本构关系

$$
\boxed{\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P,\qquad
\mathbf H=\frac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M,}
$$

线性、各向同性介质中进一步简化为 $\mathbf D=\varepsilon\mathbf E$、$\mathbf B=\mu\mathbf H$（导体再加 $\mathbf J_f=\sigma\mathbf E$）。

讨论一：方程如何闭合。 基本的动力学未知量是 $\mathbf E$ 与 $\mathbf B$（共 6 个分量）。两个旋度方程正好提供 6 个演化方程，两个散度方程是由演化保持的自洽性约束（由初始条件保证）。但旋度方程里出现的 $\mathbf D$、$\mathbf H$ 必须用本构关系换成 $\mathbf E$、$\mathbf B$——没有本构关系，场方程对材料一无所知。电磁学的“材料科学”部分就藏在 $\mathbf P(\mathbf E)$ 与 $\mathbf M(\mathbf B)$ 里：线性、非线性、各向异性、电滞（27 节）都只是本构关系的不同形态。

讨论二：界面上的边界条件。 对四个方程的积分形式取药盒与窄回路极限（与 20.1、20.2、37 节同法）：

$$
D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f,\qquad
B_{2n}-B_{1n}=0,
$$

$$
\mathbf E_{2t}=\mathbf E_{1t},\qquad
\hat{\mathbf n}\times(\mathbf H_2-\mathbf H_1)=\mathbf K_f.
$$

法向 $\mathbf D$ 由自由面电荷决定，切向 $\mathbf H$ 由自由面电流决定；$\mathbf B_n$ 与 $\mathbf E_t$ 则无条件连续。静电与静磁的边值关系是这四个一般关系在 $\partial/\partial t=0$ 时的特例。

应用：介质中的电磁波速。 线性均匀介质、无自由源（$\rho_f=0$，$\mathbf J_f=0$）时，对法拉第定律取旋度：

$$
\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)
=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf B)
=-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},
$$

利用 $\nabla\cdot\mathbf E=0$ 得波动方程 $\nabla^2\mathbf E=\mu\varepsilon,\partial^2\mathbf E/\partial t^2$，波速

$$
\boxed{v=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}
=\frac c{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}},}
$$

即折射率 $n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$。真空方程只是 $\varepsilon_r=\mu_r=1$ 的特例——介质中的“光速变慢”完全是 $\mathbf D$、$\mathbf H$ 本构关系的直接推论。

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44. 极化电流与磁化电流

极化强度随时间变化意味着束缚电荷发生微观位移，定义极化电流密度

$$
\boxed{\mathbf J_P=\frac{\partial\mathbf P}{\partial t}.}
$$

因 $\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P$：

$$
\frac{\partial\rho_b}{\partial t}
+\nabla\cdot\mathbf J_P=0,
$$

所以它与束缚电荷自动满足连续性方程。

磁化强度 $\mathbf M$ 可等效为体磁化电流和表面磁化电流：

$$
\boxed{\mathbf J_M=\nabla\times\mathbf M,
\qquad \mathbf K_M=\mathbf M\times\hat{\mathbf n}.}
$$

宏观辅助场定义为

$$
\mathbf H=\frac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M,
$$

从而把磁化电流吸收到材料响应中，使安培—Maxwell 方程只显式保留自由电流。

应用：永久磁铁的表面电流图像。 均匀磁化圆柱的体磁化电流 $\nabla\times\mathbf M=0$，表面等效电流密度

$$
K_M=|\mathbf M\times\hat{\mathbf n}|=M.
$$

典型永磁体 $M\approx8\times10^{5}$ A/m——等效于每米侧面流过 80 万安培的“面电流”，其产生的场正是我们测到的永磁场。安培的分子电流假说在此获得现代形式：磁化强度与等效电流环是一回事，磁铁的 N/S 极即环形束缚电流的两个面。

极化电流的物理图像。 $\mathbf J_P=\partial\mathbf P/\partial t$：交流电场中束缚电荷在其平衡位置附近振荡，构成真实电流并产生磁场——电介质电容器在交流下即使没有传导电流也有磁场，这正是极化电流与位移电流区分的实验判据。

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